Калькулятор пределов онлайн
Введите функцию и точку — калькулятор найдет предел и раскроет неопределенность: разложит на множители, разделит на старшую степень, применит замечательные пределы или правило Лопиталя. Находит и односторонние пределы.
Пишите, как в тетради: sin(5x)/(3x), (x^2 − 4)/(x − 2), (1 + 1/x)^x. Точка — число, π/2 или ∞, +∞, −∞, inf.
Предел функции sin(5x)/(3x) при x → 0 равен 5/3 ≈ 1,6667.
Решение шаг за шагом
Неопределенность 0/0. Первый замечательный предел: sin u/u → 1 при u → 0, то есть sin u ~ u. Заменяем множители эквивалентными:
sin(5x) ~ 5xlimx → 0sin(5x)/(3x)=limx → 05x/(3x)= 5/3
Формула
Здесь основной прием, которым найден ваш предел: подстановка, разложение на множители, деление на старшую степень, первый или второй замечательный предел либо правило Лопиталя.
Как получился результат
Каждый ответ калькулятор сверяет со значениями функции вблизи точки. Если они не совпадают, символьный ответ он не показывает.
Как найти предел функции вручную
- Сначала подставьте точку
lim (x → 2) (x² + 1) = 2² + 1 = 5. Если получилось число, это и есть ответ.
- 0/0 в дроби с многочленами — разложите на множители
(x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, поэтому при x → 2 предел равен 4.
- ∞/∞ — разделите на старшую степень
(3x² + 2x − 1)/(5x² − 4) = (3 + 2/x − 1/x²)/(5 − 4/x²) → 3/5 при x → ∞.
- Вспомните замечательные пределы
sin x/x → 1 при x → 0, поэтому sin 5x/(3x) → 5/3. А (1 + 1/x)ˣ → e при x → ∞.
Пределы не раскрываются? Найдите репетитора по математике для 11 класса
Частые вопросы
Впишите функцию, например sin(5x)/(3x), и точку, к которой стремится x: число, π/2 или ∞. Калькулятор покажет ответ и решение — какая неопределенность найдена и как она раскрыта.
0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰ и ∞⁰. Он раскладывает на множители, делит на старшую степень, домножает на сопряженное выражение, заменяет множители эквивалентными или применяет правило Лопиталя.
Первый: lim (x → 0) sin x/x = 1, отсюда sin kx ~ kx при x → 0. Второй: lim (x → ∞) (1 + 1/x)ˣ = e, он раскрывает неопределенность 1^∞.
В поле точки напишите ∞, +∞, −∞ или inf. Для одностороннего предела выберите «Справа» (x → a + 0) или «Слева» (x → a − 0).
Когда односторонние пределы разные: у 1/x при x → 0 слева −∞, а справа +∞, у |x|/x — −1 и 1. Калькулятор вычисляет оба и пишет, что предела нет.
Подставляет в функцию значения x, все ближе к точке, и смотрит, к чему стремятся результаты. Если символьный ответ с ними не совпадает, калькулятор его не показывает.
Пределы даются тяжело?
Запишитесь на урок-знакомство с репетитором Mathema. 30 минут онлайн, без обязательств — найдем пробел и составим план, как его закрыть.
Курс математики онлайн →НМТ по математике: формат, формулы и пробный тест → Преподаёте математику? Работа репетитором по математике на Mathema.me →