Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: Алгебраїчні перетворення. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебраїчні перетворення, Рівняння та нерівності, Функції та їхні властивості, Похідна та її застосування, Елементи планіметрії, Ймовірність і комбінаторика. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Спростіть вираз: (x^2 - 9) / (x - 3), x ≠ 3.
x - 3
x + 3
x^2 + 3
x - 9
Пояснення: Розкладемо чисельник на множники: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Після скорочення на x - 3 (за умови x ≠ 3) отримаємо x + 3.
2
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = 3 і x = -1
x = 1 і x = -3
x = 3/2 і x = -1
x = -3 і x = -1
Пояснення: Знаходимо корені квадратного рівняння: D = (-5)^2 - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49. Тоді x = (5 ± 7) / 4, звідси x = 3 і x = -1.
3
Знайдіть область визначення функції y = sqrt(5 - 2x).
x ≤ 5/2
x ≥ 5/2
x < 5/2
x ∈ R
Пояснення: Підкореневий вираз має бути невід’ємним: 5 - 2x ≥ 0. Звідси x ≤ 5/2.
4
Яка з наведених функцій є парною?
y = x^3
y = x^2 - 1
y = x + 2
y = 1/x
Пояснення: Парна функція задовольняє умову f(-x) = f(x). Для y = x^2 - 1 маємо f(-x) = (-x)^2 - 1 = x^2 - 1, отже функція парна.
5
Знайдіть похідну функції y = 3x^4 - 2x^2 + 7.
y' = 12x^3 - 4x
y' = 12x^4 - 4x^2
y' = 3x^3 - 2x
y' = 12x^3 - 2x
Пояснення: Застосовуємо правило похідної степеневої функції: (3x^4)' = 12x^3, (-2x^2)' = -4x, (7)' = 0. Отже y' = 12x^3 - 4x.
6
Знайдіть значення виразу: log_2 8 + log_2 4.
4
5
6
7
Пояснення: log_2 8 = 3, log_2 4 = 2. Сума дорівнює 5? Ні, перевіримо уважно: 3 + 2 = 5. Отже правильна відповідь — 5.
7
У трикутнику ABC відомо, що AB = AC. Яке твердження є правильним?
∠B = ∠C
∠A = ∠B
BC = AB
Трикутник обов’язково прямокутний
Пояснення: У рівнобедреному трикутнику, де AB = AC, кути при основі рівні. Отже ∠B = ∠C.
8
Знайдіть площу кола, якщо його радіус дорівнює 6 см.
12π см^2
18π см^2
36π см^2
72π см^2
Пояснення: Площа кола обчислюється за формулою S = πr^2. Для r = 6 маємо S = π·6^2 = 36π см^2.
9
Знайдіть кількість способів вибрати 2 учнів із 5 для участі в олімпіаді.
10
20
15
5
Пояснення: Кількість комбінацій: C(5,2) = 5·4 / (2·1) = 10.
10
Знайдіть проміжки зростання функції y = x^2 - 4x + 1.
(-∞; 2)
(2; +∞)
(-∞; +∞)
Немає проміжків зростання
Пояснення: Знайдемо похідну: y' = 2x - 4. Функція зростає, коли y' > 0, тобто 2x - 4 > 0, звідси x > 2.
11
Розв’яжіть нерівність: x^2 - 5x + 6 ≤ 0.
x ∈ (-∞; 2] ∪ [3; +∞)
x ∈ [2; 3]
x ∈ (2; 3)
x ∈ (-∞; +∞)
Пояснення: Розкладемо на множники: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Оскільки парабола відкрита вгору, вираз ≤ 0 між коренями, включно з ними: [2; 3].
