Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: Алгебра, Функції. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебра, Функції, Рівняння та нерівності, Похідна, Геометрія. Тривалість — 35 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = 3 і x = -1/2
x = -3 і x = 1/2
x = 1 і x = -3/2
x = 3/2 і x = -1
Пояснення: Знаходимо дискримінант: D = (-5)^2 - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49. Тоді x = (5 ± 7)/4, звідси x = 3 і x = -1/2.
2
Знайдіть область визначення функції y = √(2x - 1) / (x - 3).
x ≥ 1/2, x ≠ 3
x > 1/2
x ≤ 1/2, x ≠ 3
усі дійсні числа, крім 3
Пояснення: Підкореневий вираз має бути невід’ємним: 2x - 1 ≥ 0, тобто x ≥ 1/2. Також знаменник не дорівнює нулю: x ≠ 3.
3
Обчисліть похідну функції f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7.
f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5
f'(x) = 12x^4 - 6x^3 + 5
f'(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5
f'(x) = 12x^3 - 2x^2 + 5
Пояснення: Застосовуємо правило похідної степеня почленно: (3x^4)' = 12x^3, (-2x^3)' = -6x^2, (5x)' = 5, (-7)' = 0.
4
Знайдіть значення виразу log_2 32 + log_2 4.
7
6
8
5
Пояснення: log_2 32 = 5, бо 2^5 = 32, а log_2 4 = 2, бо 2^2 = 4. Сума дорівнює 7.
5
Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?
Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним
У будь-якому трикутнику всі сторони рівні
Протилежний більшій стороні кут є більшим
Пояснення: Правильними є твердження про суму кутів, властивість зовнішнього кута та зв’язок між більшою стороною і більшим протилежним кутом.
6
Розв’яжіть нерівність x^2 - 4x - 5 > 0.
(-∞; -1) ∪ (5; +∞)
(-1; 5)
[-1; 5]
(-∞; -5) ∪ (1; +∞)
Пояснення: Розкладемо: x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). Добуток додатний поза коренями, тому розв’язок: (-∞; -1) ∪ (5; +∞).
7
Знайдіть найменше значення функції y = (x - 2)^2 + 3.
3
2
0
-3
Пояснення: Квадрат невід’ємний: (x - 2)^2 ≥ 0. Найменше значення досягається при x = 2 і дорівнює 3.
8
У арифметичній прогресії a_1 = 4, d = 3. Знайдіть a_10.
31
28
34
27
Пояснення: Формула n-го члена: a_n = a_1 + (n - 1)d. Маємо a_10 = 4 + 9·3 = 31.
9
Які з наведених виразів тотожно дорівнюють 1?
sin^2 x + cos^2 x
tg x · ctg x
sin x + cos x
1 - cos^2 x + sin^2 x
Пояснення: Тотожно дорівнюють 1 вирази sin^2 x + cos^2 x та tg x · ctg x (за умови, що обидві функції визначені).
10
Знайдіть кут між векторами a⃗ = (1; 0) і b⃗ = (1; 1).
45°
30°
60°
90°
Пояснення: Скалярний добуток: a⃗·b⃗ = 1. Довжини: |a⃗| = 1, |b⃗| = √2. Тоді cos φ = 1/√2, отже φ = 45°.
