Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 10 клас: Алгебраїчні перетворення. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебраїчні перетворення, Рівняння та нерівності, Функції та їхні властивості, Похідна та її застосування, Геометрія на площині. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Спростіть вираз: (x^2 - 9)/(x - 3), x ≠ 3.
x - 3
x + 3
x^2 + 3
x - 9
Пояснення: Розкладемо чисельник на множники: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Після скорочення отримаємо x + 3, якщо x ≠ 3.
2
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = 3/2 і x = -1
x = 1/2 і x = -3
x = 3 і x = -1/2
x = -3/2 і x = 1
Пояснення: Знаходимо корені квадратного рівняння: D = 25 + 24 = 49. Тоді x = (5 ± 7)/4, звідси x = 3/2 або x = -1.
3
Яке з наведених тверджень є правильним для функції y = x^2 - 4x + 1?
Парабола має вершину в точці (2; -3)
Парабола має вершину в точці (-2; -3)
Функція зростає на всій числовій прямій
Функція не має нулів
Пояснення: Перетворимо: y = (x - 2)^2 - 3. Отже, вершина параболи має координати (2; -3).
4
Які з наведених чисел є розв’язками нерівності x^2 - 5x + 6 < 0?
1
2
2,5
3
4
Пояснення: Маємо x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Добуток від’ємний між коренями, тобто при 2 < x < 3. Із наведених чисел підходить лише 2,5.
5
Знайдіть значення похідної функції f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x у точці x = 1.
9
10
11
12
Пояснення: f'(x) = 12x^3 - 4x + 1. Тоді f'(1) = 12 - 4 + 1 = 9? Ні, перевіримо уважно: похідна 3x^4 дорівнює 12x^3, похідна -2x^2 дорівнює -4x, похідна x дорівнює 1. Отже f'(1) = 12 - 4 + 1 = 9.
6
Яке з наведених чисел є розв’язком системи рівнянь: { x + y = 7, x - y = 1 }?
x = 3, y = 4
x = 4, y = 3
x = 5, y = 2
x = 6, y = 1
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, звідси x = 4. Тоді y = 7 - 4 = 3.
7
Знайдіть область визначення функції y = √(2x - 6).
x ≥ 3
x > 3
x ≤ 3
x < 3
Пояснення: Підкореневий вираз має бути невід’ємним: 2x - 6 ≥ 0. Звідси x ≥ 3.
8
Які з наведених властивостей характерні для функції y = -x^2 + 4?
Гілки параболи напрямлені вниз
Вершина має координати (0; 4)
Функція є зростаючою на всій числовій прямій
Функція має найбільше значення 4
Функція має найменше значення 4
Пояснення: Оскільки коефіцієнт при x^2 від’ємний, парабола напрямлена вниз. Вершина в точці (0; 4), і це найбільше значення функції.
9
Знайдіть кут між векторами, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0.
0°
45°
90°
180°
Пояснення: Якщо скалярний добуток дорівнює 0, то вектори перпендикулярні. Отже, кут між ними дорівнює 90°.
10
У трикутнику два кути дорівнюють 35° і 65°. Знайдіть третій кут.
70°
80°
90°
100°
Пояснення: Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Третій кут: 180° - 35° - 65° = 80°. Перевіримо: 35 + 65 = 100, отже 180 - 100 = 80°.
11
Знайдіть значення виразу log_2 8 + log_2 4.
4
5
6
8
Пояснення: log_2 8 = 3, log_2 4 = 2. Сума дорівнює 5.
