Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: Функції та їхні властивості. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Функції та їхні властивості, Похідна та дослідження функції, Показникові рівняння, Тригонометрія, Планіметрія, Ймовірність і комбінаторика. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Функція описує висоту звуку під час гри на фортепіано: f(x)=2x^2-8x+5. Яке значення має мінімум цієї функції?
-3
-1
1
5
Пояснення: Парабола відкрита вгору, тому мінімум у вершині. x0 = 8/4 = 2, f(2)=8-16+5=-3. Отже, правильна відповідь — -3.
2
Під час танцювальної репетиції рух описано функцією s(t)=t^3-6t^2+9t. У якій точці часу функція має локальний максимум?
t=0
t=1
t=2
t=3
Пояснення: s'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3). У точці t=1 похідна змінює знак з «+» на «-», тому це локальний максимум.
3
Розв’яжіть рівняння: 2^(x-1)=8. Яке значення x є розв’язком?
3
4
5
6
Пояснення: 8=2^3, тому 2^(x-1)=2^3. Отже, x-1=3, звідси x=4.
4
Обчисліть значення виразу: sin(π/6) + cos(π/3).
0
1/2
1
2
Пояснення: sin(π/6)=1/2, cos(π/3)=1/2. Сума дорівнює 1.
5
У книзі для читання 12 розділів. Скількома способами можна вибрати 3 різні розділи для обговорення, якщо порядок неважливий?
132
220
336
1728
Пояснення: Потрібно знайти число сполучень: C(12,3)=12·11·10/(3·2·1)=220.
6
На фортепіанному конкурсі ймовірність отримати оцінку «відмінно» за один виступ дорівнює 0,7. Яка ймовірність того, що за два незалежні виступи обидва будуть оцінені як «відмінно»?
0,14
0,49
0,7
1,4
Пояснення: Для незалежних подій ймовірності перемножуються: 0,7·0,7=0,49.
7
Знайдіть похідну функції f(x)=5x^4-3x^2+2x.
20x^3-6x+2
20x^4-6x^2+2
5x^3-3x+2
20x^3-3x+2
Пояснення: Застосовуємо правило похідної степеневої функції: (5x^4)'=20x^3, (-3x^2)'=-6x, (2x)'=2.
8
Знайдіть розв’язок нерівності: 2x-5 > 7.
x > 1
x > 6
x < 6
x < 1
Пояснення: 2x-5>7 ⇒ 2x>12 ⇒ x>6.
9
У трикутнику сторони дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Який це трикутник?
Рівносторонній
Рівнобедрений
Прямокутний
Тупокутний
Пояснення: Перевіряємо теорему Піфагора: 6^2+8^2=36+64=100=10^2. Отже, трикутник прямокутний.
10
Обчисліть значення виразу: 3^2 · 3^4 / 3^3.
3
9
27
81
Пояснення: За властивостями степенів: 3^2·3^4/3^3=3^(2+4-3)=3^3=27.
