Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: Лінійні рівняння, Квадратні рівняння. 34 завдання з відповідями та поясненнями. Теми: Лінійні рівняння, Квадратні рівняння, Функції та графіки, Прямокутний трикутник, Тригонометрія, Похідна, Вектори, Елементи стереометрії, Ймовірність і комбінаторика. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть рівняння: 3x - 7 = 11.
x = 6
x = 4
x = -6
x = 18
Пояснення: Додаємо 7 до обох частин: 3x = 18, звідси x = 6.
2
Знайдіть корені рівняння x² - 5x + 6 = 0.
x = 1 і x = 6
x = 2 і x = 3
x = -2 і x = -3
x = 0 і x = 6
Пояснення: Розкладаємо на множники: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Отже, корені 2 і 3.
3
Яке значення має вираз | -8 | + | 3 | ?
5
11
-11
-5
Пояснення: Модулі: |-8| = 8, |3| = 3, тому 8 + 3 = 11.
4
Знайдіть значення функції y = 2x - 1 при x = -3.
-7
7
-5
5
Пояснення: Підставляємо x = -3: y = 2·(-3) - 1 = -6 - 1 = -7.
5
У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу.
10 см
14 см
12 см
8 см
Пояснення: За теоремою Піфагора: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
6
У прямокутному трикутнику один гострий кут дорівнює 35°. Яка міра другого гострого кута?
45°
55°
65°
35°
Пояснення: Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. Отже, 90° - 35° = 55°.
7
Обчисліть: sin 30°.
0,5
1
√2/2
√3/2
Пояснення: Відоме значення: sin 30° = 1/2 = 0,5.
8
Знайдіть похідну функції f(x) = x³.
f'(x) = 3x²
f'(x) = x²
f'(x) = 3x
f'(x) = x³
Пояснення: За правилом степеня: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹. Для n = 3 маємо f'(x) = 3x².
9
Який із векторів є протилежним до вектора a = (4; -2)?
(-4; 2)
(4; 2)
(-4; -2)
(2; -4)
Пояснення: Протилежний вектор має ті самі модулі координат, але протилежні знаки: (-4; 2).
10
Знайдіть довжину вектора a = (3; 4).
5
7
1
12
Пояснення: Довжина вектора: |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
11
Розв’яжіть нерівність: 2x - 5 > 7.
x > 6
x > 1
x < 6
x < 1
Пояснення: 2x > 12, тому x > 6.
12
Знайдіть суму коренів рівняння x² - 7x + 10 = 0.
7
10
-7
3
Пояснення: Для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 сума коренів дорівнює -b/a. Тут це 7.
13
Яке значення має вираз (2³)² ?
64
16
12
36
Пояснення: (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶ = 64.
14
Знайдіть координати середини відрізка з кінцями A(2; -1) і B(6; 3).
(4; 1)
(8; 2)
(3; 1)
(4; 2)
Пояснення: Координати середини: ((2+6)/2; (-1+3)/2) = (4; 1).
15
Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням y = -3x + 5.
5
-3
3
-5
Пояснення: У вигляді y = kx + b коефіцієнт k = -3.
16
У прямокутному трикутнику катет, прилеглий до кута 60°, дорівнює 5 см. Знайдіть гіпотенузу.
10 см
5√3 см
15 см
5/2 см
Пояснення: cos 60° = прилеглий катет / гіпотенуза = 1/2. Отже, 5 / c = 1/2, тому c = 10 см.
17
Знайдіть значення похідної функції f(x) = 5x² - 4x + 1 у точці x = 2.
16
12
8
20
Пояснення: f'(x) = 10x - 4. Тоді f'(2) = 20 - 4 = 16.
18
Знайдіть скалярний добуток векторів a = (2; 1) і b = (3; -4).
2
2·3 + 1·(-4) = 2
-10
10
Пояснення: Скалярний добуток: 2·3 + 1·(-4) = 6 - 4 = 2.
19
Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 без повторення цифр?
3
6
9
12
Пояснення: На перше місце — 3 варіанти, на друге — 2 варіанти. Отже, 3·2 = 6.
20
Знайдіть область визначення функції y = 1/(x - 2).
Усі дійсні числа, крім 2
Лише x > 2
Лише x < 2
Усі дійсні числа
Пояснення: Знаменник не може дорівнювати нулю, тому x ≠ 2.
21
Розв’яжіть рівняння |x - 3| = 5.
x = 8 або x = -2
x = 2 або x = -8
x = 5 або x = -5
x = 3 або x = 5
Пояснення: Маємо два випадки: x - 3 = 5 або x - 3 = -5. Звідси x = 8 або x = -2.
22
Знайдіть значення виразу log10 1000.
2
3
10
100
Пояснення: 10³ = 1000, тому log10 1000 = 3.
23
Яке з наведених тверджень є правильним для паралельних векторів?
Вони завжди мають однакову довжину
Вони лежать на одній або паралельних прямих
Вони обов’язково перпендикулярні
Їх координати завжди однакові
Пояснення: Паралельні вектори можуть мати різну довжину, але їхні напрями збігаються або протилежні.
24
Знайдіть похідну функції f(x) = 1/x.
f'(x) = 1/x²
f'(x) = -1/x²
f'(x) = -x²
f'(x) = x⁻¹
Пояснення: f(x) = x⁻¹, тому f'(x) = -x⁻² = -1/x².
25
У трикутнику ABC кут C = 90°, AC = 9 см, BC = 12 см. Знайдіть sin A.
3/5
4/5
5/3
9/12
Пояснення: Гіпотенуза AB = √(9² + 12²) = 15. Для кута A протилежний катет BC = 12, тому sin A = 12/15 = 4/5. Однак у варіантах правильним є 4/5? Перевірка: sin A = протилежний/гіпотенуза = 12/15 = 4/5.
26
Знайдіть значення виразу: (a²b)³.
a⁶b³
a⁵b³
a⁶b⁶
a²b⁹
Пояснення: Підносимо кожний множник до третього степеня: (a²b)³ = a⁶b³.
27
Знайдіть координати вектора AB, якщо A(-1; 4), B(3; -2).
(4; -6)
(-4; 6)
(2; 1)
(3; -2)
Пояснення: AB = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - (-1); -2 - 4) = (4; -6).
28
Знайдіть максимум функції y = -x² + 4x + 1.
5
4
1
-5
Пояснення: Парабола напрямлена вниз. Вершина має абсцису x = -b/(2a) = -4/(2·(-1)) = 2. y(2) = -4 + 8 + 1 = 5.
29
Знайдіть значення похідної функції f(x) = x²·sin x у точці x = 0.
0
1
2
-1
Пояснення: За правилом добутку: f'(x) = 2x·sin x + x²·cos x. При x = 0 маємо f'(0) = 0.
30
Яке з наведених рівнянь задає пряму, паралельну осі Ox?
y = 3
x = 3
y = 3x
x + y = 3
Пояснення: Пряма, паралельна осі Ox, має вигляд y = c, де c — стала.
31
У прямокутному трикутнику один катет дорівнює 7, а гіпотенуза — 25. Знайдіть другий катет.
24
18
20
16
Пояснення: За теоремою Піфагора: b = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24.
32
Знайдіть значення виразу: (2x - 1)(2x + 1).
4x² - 1
4x² + 1
2x² - 1
4x - 1
Пояснення: Це формула різниці квадратів: (a - b)(a + b) = a² - b². Отже, (2x)² - 1² = 4x² - 1.
33
Знайдіть кут між векторами a = (1; 0) і b = (0; 1).
0°
45°
90°
180°
Пояснення: Скалярний добуток дорівнює 0, отже вектори перпендикулярні, а кут між ними 90°.
34
Знайдіть кількість розв’язків рівняння x² + 4x + 4 = 0.
0
1
2
Безліч
Пояснення: x² + 4x + 4 = (x + 2)². Маємо один подвійний корінь x = -2, тобто один різний розв’язок.
