Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 10 клас: Рівняння та нерівності. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Рівняння та нерівності, Функції та їхні властивості, Похідна та її застосування, Планіметрія, Ймовірність і комбінаторика. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = 3 і x = -1
x = 1 і x = -3
x = 3 і x = 1
x = -3 і x = -1
Пояснення: Знаходимо дискримінант: D = 25 + 24 = 49. Корені: x = (5 ± 7)/4, тобто x = 3 і x = -1.
2
Яка з функцій є парною?
f(x) = x^3 - x
f(x) = x^2 + 1
f(x) = x + 2
f(x) = 2^x
Пояснення: Парна функція задовольняє умову f(-x) = f(x). Для f(x) = x^2 + 1 маємо f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1.
3
Оберіть усі правильні твердження про функцію y = x^2 - 4x + 3.
Її графік — парабола
Вершина параболи має абсцису x = 2
Функція має нулі x = 1 і x = 3
Функція є лінійною
Вісь симетрії: x = -2
Пояснення: Квадратична функція задає параболу. Вершина має абсцису x = -b/(2a) = 4/2 = 2. Розклад: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3), тому нулі 1 і 3.
4
Знайдіть похідну функції f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5.
f'(x) = 12x^3 - 4x
f'(x) = 12x^4 - 4x^2
f'(x) = 3x^3 - 2x
f'(x) = 12x^3 - 2x
Пояснення: Застосовуємо правило степеня: (x^n)' = nx^(n-1). Отже, (3x^4)' = 12x^3, (-2x^2)' = -4x, (5)' = 0.
5
Яке значення похідної f'(2), якщо f(x) = x^2 - 6x + 1?
-2
2
-4
4
Пояснення: f'(x) = 2x - 6. Тоді f'(2) = 4 - 6 = -2.
6
Оберіть усі правильні властивості трикутника зі сторонами 5, 12 і 13.
Трикутник прямокутний
Його площа дорівнює 30
Гіпотенуза дорівнює 13
Трикутник рівносторонній
Периметр дорівнює 28
Пояснення: Оскільки 5^2 + 12^2 = 13^2, трикутник прямокутний. Площа = 1/2 · 5 · 12 = 30. Периметр = 5 + 12 + 13 = 30, тому твердження про 28 є хибним.
7
У коробці 3 червоні, 4 сині та 5 зелених кульок. Яка ймовірність витягнути навмання синю кульку?
1/3
4/12
1/4
5/12
Пояснення: Усього кульок 3 + 4 + 5 = 12, синіх — 4. Ймовірність: 4/12 = 1/3.
8
Розв’яжіть нерівність: x^2 - 9 > 0.
x ∈ (-3; 3)
x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞)
x ∈ [-3; 3]
x ∈ (-∞; 3)
Пояснення: Маємо (x - 3)(x + 3) > 0. Добуток додатний поза коренями, тому x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞).
9
Знайдіть значення виразу log_2(8) + log_2(4).
4
5
6
8
Пояснення: log_2(8) = 3, log_2(4) = 2, але тут потрібно уважно скласти: 3 + 2 = 5. Отже, правильна відповідь — 5.
10
Оберіть усі правильні твердження про квадратне рівняння ax^2 + bx + c = 0, де a ≠ 0.
Кількість дійсних коренів залежить від дискримінанта
Якщо D > 0, то рівняння має два різні дійсні корені
Якщо D = 0, то рівняння має один дійсний корінь
Якщо D < 0, то рівняння має два різні дійсні корені
Коефіцієнт a може дорівнювати 0
Пояснення: Для квадратного рівняння a ≠ 0. Кількість дійсних коренів визначається знаком дискримінанта: D > 0 — два корені, D = 0 — один корінь, D < 0 — дійсних коренів немає.
