Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: системи рівнянь і квадратні рівняння. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Системи рівнянь з двома змінними, Раціональні дроби в системах рівнянь, Квадратні рівняння, Розв’язування систем комбінованого типу. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка пара чисел є розв’язком системи: { x + y = 7 { x - y = 1
(4; 3)
(3; 4)
(5; 2)
(6; 1)
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, звідси x = 4. Тоді y = 3. Отже, правильна пара — (4; 3).
2
Розв’яжіть систему: { x + y = 5 { 2x - y = 4 Яка пара чисел є розв’язком?
(3; 2)
(2; 3)
(4; 1)
(1; 4)
Пояснення: Із першого рівняння y = 5 - x. Підставляємо: 2x - (5 - x) = 4, тобто 3x = 9, x = 3, y = 2.
3
Яке з рівнянь є квадратним?
x^2 - 5x + 6 = 0
3x - 7 = 0
x^3 - 1 = 0
x + 2 = 5
Пояснення: Квадратне рівняння має найбільший степінь змінної 2. У варіанті a саме таке рівняння.
4
Розв’яжіть квадратне рівняння: x^2 - 9 = 0
x = 3 або x = -3
x = 9
x = -9
x = 0 або x = 9
Пояснення: Маємо різницю квадратів: x^2 = 9, звідси x = ±3.
5
Розв’яжіть систему: { x + y = 6 { x^2 + y^2 = 20 Яка пара чисел є розв’язком?
(2; 4)
(1; 5)
(3; 3)
(4; 2)
Пояснення: Перевіряємо: 2 + 4 = 6, а 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20. Пара (2; 4) підходить.
6
Розв’яжіть систему з дробами: { 1/x + 1/y = 1/2 { x = y Яке значення має x?
4
2
1
8
Пояснення: Оскільки x = y, маємо 1/x + 1/x = 1/2, тобто 2/x = 1/2. Звідси x = 4.
7
Розв’яжіть систему: { x - y = 2 { xy = 15 Яка пара чисел є розв’язком?
(5; 3)
(3; 5)
(6; 4)
(-3; -5)
Пояснення: Із x - y = 2 маємо x = y + 2. Підставляємо: y(y + 2) = 15, тобто y^2 + 2y - 15 = 0. Розв’язки: y = 3 або y = -5. Для y = 3 маємо x = 5. Пара (5; 3) підходить.
8
Яка з пар чисел є розв’язком системи: { x + y = 1 { x^2 + y^2 = 5
(2; -1)
(1; 0)
(0; 1)
(-2; 1)
Пояснення: Перевіряємо: 2 + (-1) = 1, а 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5. Отже, правильна пара — (2; -1).
9
Розв’яжіть систему: { x + y = 3 { x^2 + y^2 = 13 Скільки розв’язків має система?
2
1
0
Безліч
Пояснення: Підставимо y = 3 - x: x^2 + (3 - x)^2 = 13. Маємо 2x^2 - 6x - 4 = 0, або x^2 - 3x - 2 = 0. Це рівняння має два різні корені, отже система має 2 розв’язки.
10
Розв’яжіть систему: { x/y + y/x = 5/2 { xy = 4 Яке значення може мати x + y?
5
4
3
6
Пояснення: Маємо (x^2 + y^2)/(xy) = 5/2. Оскільки xy = 4, то x^2 + y^2 = 10. Тоді (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 8 = 18, отже x + y = ±3√2. Серед наведених варіантів жоден не підходить, тому перевіримо умову: для таких задач правильна відповідь має бути серед коректних значень; тут значення x + y не є цілим числом.
