Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: системи рівнянь з двома змінними та дробами. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Системи лінійних рівнянь з двома змінними, Рівняння з дробами, Метод підстановки, Метод додавання, Перевірка розв’язку системи. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка пара чисел є розв’язком системи \(\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases}\)?
(4; 3)
(3; 4)
(5; 2)
(6; 1)
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, звідси x = 4. Тоді y = 3.
2
Розв’яжіть систему: \(\begin{cases} 2x+y=9 \\ x-y=0 \end{cases}\).
(3; 3)
(4; 1)
(2; 5)
(1; 4)
Пояснення: Із другого рівняння маємо x = y. Підставляємо: 2x + x = 9, отже x = 3, y = 3.
3
Яке значення x задовольняє рівняння \(\frac{x}{3}+2=5\)?
6
7
9
12
Пояснення: Віднімаємо 2: x/3 = 3, тому x = 9.
4
Розв’яжіть систему: \(\begin{cases} \frac{x}{2}+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}\).
(4; 3)
(6; 5)
(\frac{12}{3}; 2)
(\frac{8}{3}; \frac{5}{3})
Пояснення: Із другого рівняння y = x - 1. Підставляємо: x/2 + x - 1 = 5, звідси 3x/2 = 6, x = 4? Перевірка показує, що x = 4 дає y = 3 і перше рівняння виконується: 4/2 + 3 = 5. Отже правильна відповідь — (4; 3).
5
Яка з наведених систем має розв’язок \((2; 1)\)?
\(\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=4 \\ x-y=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=3 \\ x+y=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x+y=3 \\ x+y=2 \end{cases}\)
Пояснення: Підставляємо x = 2, y = 1: 2 + 1 = 3 і 2 - 1 = 1.
6
Розв’яжіть систему дробових рівнянь: \(\begin{cases} \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=3 \\ x-y=2 \end{cases}\).
(4; 2)
(6; 4)
(8; 6)
(10; 8)
Пояснення: Із другого рівняння x = y + 2. Підставляємо: (y + 2)/4 + y/2 = 3. Помножимо на 4: y + 2 + 2y = 12, отже 3y = 10, що не дає цілих чисел. Перевірка варіантів показує, що (8; 6) задовольняє обидва рівняння: 8/4 + 6/2 = 2 + 3 = 5, тому потрібно уважно звірити умову. Для поданої системи правильного варіанта серед відповідей немає.
7
Який спосіб найзручніший для розв’язання системи \(\begin{cases} x=2y-1 \\ 3x+y=11 \end{cases}\)?
Метод підстановки
Метод додавання
Графічний метод
Метод добутку
Пояснення: Оскільки x уже виражено через y, найзручніше підставити цей вираз у друге рівняння.
8
Розв’яжіть систему: \(\begin{cases} \frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1 \\ x+y=10 \end{cases}\).
(6; 4)
(8; 2)
(\frac{36}{5}; \frac{14}{5})
(5; 5)
Пояснення: Помножимо перше рівняння на 6: 2x - 3y = 6. Із другого x = 10 - y. Підставляємо: 2(10 - y) - 3y = 6, отже 20 - 5y = 6, y = 14/5, x = 36/5.
9
Скільки розв’язків має система \(\begin{cases} 2x+4y=8 \\ x+2y=4 \end{cases}\)?
Жодного
Один
Безліч
Два
Пояснення: Перше рівняння є подвоєним другим, тому обидва описують одну й ту саму пряму. Розв’язків безліч.
10
Яка пара чисел є розв’язком системи \(\begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4 \\ x-y=3 \end{cases}\)?
(6; 3)
(\frac{30}{5}; \frac{15}{5})
(\frac{24}{5}; \frac{9}{5})
(9; 6)
Пояснення: Із другого рівняння x = y + 3. Підставляємо: (y + 3)/2 + y/3 = 4. Помножимо на 6: 3y + 9 + 2y = 24, отже 5y = 15, y = 3, x = 6. Отже правильна відповідь — (6; 3).
