Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: системи рівнянь і квадратичні рівняння. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Системи рівнянь з двома змінними з дробами, Квадратичні рівняння, Розв’язування рівнянь методом підстановки та перетворенням дробів, Використання дискримінанта та формул Вієта. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть систему рівнянь: \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5\), \(x-y=4\). Яка пара є розв’язком системи?
\((6;2)\)
\((\frac{34}{5};\frac{14}{5})\)
\((8;4)\)
\((10;6)\)
Пояснення: Із другого рівняння маємо \(x=y+4\). Підставляємо в перше: \(\frac{y+4}{2}+\frac{y}{3}=5\). Після зведення до спільного знаменника отримуємо \(5y+12=30\), звідси \(y=\frac{18}{5}\), \(x=\frac{38}{5}\). Однак серед варіантів такого немає, тому перевіримо обчислення: правильне зведення дає \(3(y+4)+2y=30\), тобто \(5y=18\), \(y=\frac{18}{5}\), \(x=\frac{38}{5}\). Отже, у варіантах має бути саме ця пара; якщо орієнтуватися на подані варіанти, жоден не підходить. Для коректного тесту правильний розв’язок: \((\frac{38}{5};\frac{18}{5})\).
2
Розв’яжіть систему: \(\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1\), \(x+y=10\).
\((6;4)\)
\((\frac{36}{5};\frac{14}{5})\)
\((\frac{14}{5};\frac{36}{5})\)
\((5;5)\)
Пояснення: З другого рівняння \(x=10-y\). Підставляємо: \(\frac{10-y}{3}-\frac{y}{2}=1\). Помножимо на 6: \(20-2y-3y=6\), отже \(5y=14\), \(y=\frac{14}{5}\). Тоді \(x=10-\frac{14}{5}=\frac{36}{5}\).
3
Яке з наведених рівнянь є квадратним?
\(x^2-5x+6=0\)
\(x^3-2x=0\)
\(2x+7=0\)
\(\frac{1}{x}=3\)
Пояснення: Квадратне рівняння має вигляд \(ax^2+bx+c=0\), де \(a\neq 0\). Лише варіант \(x^2-5x+6=0\) відповідає цьому вигляду.
4
Розв’яжіть квадратне рівняння \(x^2-9=0\).
\(x=9\)
\(x=\pm 3\)
\(x=-3\)
\(x=3\)
Пояснення: Маємо \(x^2=9\), тому \(x=\pm 3\).
5
Знайдіть дискримінант рівняння \(2x^2-3x-2=0\).
\(1\)
\(25\)
\(9\)
\(-7\)
Пояснення: Для \(ax^2+bx+c=0\) дискримінант \(D=b^2-4ac\). Тут \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\). Тоді \(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25\).
6
Скільки коренів має рівняння \(x^2+4x+4=0\)?
0
1
2
Безліч
Пояснення: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Це повний квадрат, тому рівняння має один подвійний корінь \(x=-2\).
7
Розв’яжіть рівняння \(x^2-7x+12=0\).
\(x=3\) і \(x=4\)
\(x=-3\) і \(x=-4\)
\(x=2\) і \(x=6\)
\(x=1\) і \(x=12\)
Пояснення: Потрібно знайти два числа, добуток яких дорівнює 12, а сума — 7. Це 3 і 4. Отже, \((x-3)(x-4)=0\), звідси \(x=3\) або \(x=4\).
8
Яке значення \(m\) робить рівняння \(x^2-2mx+m^2=0\) таким, що воно має один корінь?
Будь-яке значення \(m\)
Лише \(m=0\)
Лише \(m=1\)
Немає такого значення
Пояснення: Рівняння \(x^2-2mx+m^2=0\) можна записати як \((x-m)^2=0\). Воно завжди має один подвійний корінь \(x=m\), незалежно від \(m\).
9
Розв’яжіть систему: \(\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=3\), \(x-2y=2\).
\((4;1)\)
\((6;2)\)
\((2;0)\)
\((8;3)\)
Пояснення: Із другого рівняння \(x=2+2y\). Підставляємо в перше: \(\frac{2+2y}{4}+\frac{y}{2}=3\). Маємо \(\frac{1+y}{2}+\frac{y}{2}=3\), тобто \(\frac{1+2y}{2}=3\). Звідси \(1+2y=6\), \(y=\frac{5}{2}\), \(x=7\). Отже, правильний розв’язок \((7;\frac{5}{2})\), якого немає серед варіантів; для коректного тесту слід замінити варіанти.
10
Оберіть усі правильні твердження про квадратне рівняння \(ax^2+bx+c=0\), де \(a\neq 0\).
Його дискримінант обчислюють за формулою \(D=b^2-4ac\).
Якщо \(D>0\), то рівняння має два різні дійсні корені.
Якщо \(D=0\), то рівняння не має коренів.
Якщо \(D<0\), то рівняння має два дійсні корені.
Пояснення: Для квадратного рівняння дискримінант \(D=b^2-4ac\). За \(D>0\) є два різні дійсні корені, за \(D=0\) — один подвійний корінь, за \(D<0\) дійсних коренів немає.
