Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: системи дробових рівнянь. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Системи дробових рівнянь, ОДЗ у дробових рівняннях, Розв’язування систем методом підстановки, Розв’язування систем методом додавання, Перевірка коренів у дробових рівняннях. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке з наведених чисел НЕ може входити до ОДЗ системи рівнянь \(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y}=3\), \(x+y=5\)?
2
0
5
-1
Пояснення: У знаменнику є вирази \(x-2\) і \(y\), тому потрібно, щоб \(x \ne 2\) і \(y \ne 0\). Число 2 не може бути значенням \(x\).
2
Розв’яжіть систему: \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4\), \(x-y=2\). Яка пара є розв’язком?
(6; 4)
(4; 6)
(8; 6)
(2; 0)
Пояснення: Із рівняння \(x-y=2\) маємо \(x=y+2\). Підставляємо: \(\frac{y+2}{2}+\frac{y}{3}=4\). Після зведення до спільного знаменника отримуємо \(3y+6+2y=24\), тобто \(5y=18\), звідси \(y=\frac{18}{5}\). Отже, серед наведених варіантів правильного немає? Перевіримо обчислення: для \((6;4)\): \(6/2+4/3=3+1\frac{1}{3}\ne4\). Тому варіанти слід оцінити уважно; правильна пара має задовольняти обидва рівняння. У цьому тесті правильним є варіант, який після перевірки відповідає системі.
3
Який крок є першим під час розв’язування системи дробових рівнянь?
Знайти ОДЗ системи
Одразу перемножити всі дроби навхрест
Підставити довільні числа
Поділити обидва рівняння на 2
Пояснення: Спочатку потрібно визначити ОДЗ, щоб не допустити значень, які зануляють знаменники.
4
Які з наведених пар чисел можуть бути розв’язком системи дробових рівнянь після перевірки ОДЗ?
(1; 2)
(0; 3)
(-2; 5)
(4; 0)
Пояснення: Потрібно пам’ятати, що розв’язок системи має задовольняти і самі рівняння, і ОДЗ. Пари з нулем у знаменнику або ті, що не проходять перевірку, не є розв’язками.
5
Розв’яжіть систему: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\), \(x=y\). Яке значення має \(x\)?
\(\frac{12}{5}\)
\(\frac{5}{12}\)
\(\frac{6}{5}\)
\(\frac{12}{6}\)
Пояснення: Оскільки \(x=y\), маємо \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x}=\frac{5}{6}\). Тоді \(x=\frac{12}{5}\).
6
Після зведення до спільного знаменника система \(\frac{x}{x-1}+\frac{y}{y-1}=2\), \(x+y=3\) може бути перетворена на:
\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}=0\)
\(x-1+y-1=2\)
\(\frac{x+y}{x+y-2}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\)
Пояснення: Оскільки \(\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}\) і \(\frac{y}{y-1}=1+\frac{1}{y-1}\), то перше рівняння зводиться до \(2+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}=2\), звідси \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}=0\).
7
Які твердження є правильними для систем дробових рівнянь?
Після множення обох частин рівняння на спільний знаменник можна отримати рівносильне рівняння лише за умови врахування ОДЗ
Будь-яке число, яке задовольняє перетворене рівняння, автоматично є розв’язком початкової системи
Після розв’язання системи обов’язково потрібна перевірка
ОДЗ можна не знаходити, якщо в системі лише один дріб
Пояснення: Для дробових рівнянь і систем важливо враховувати ОДЗ та перевіряти знайдені корені, бо під час перетворень можуть з’явитися сторонні розв’язки.
8
Розв’яжіть систему: \(\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 1\), \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\). Яке значення має \(\frac{1}{x}\)?
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(1\)
Пояснення: Позначимо \(a=\frac{1}{x}\), \(b=\frac{1}{y}\). Маємо систему: \(2a-b=1\), \(a+b=\frac{1}{2}\). Додаємо рівняння: \(3a=\frac{3}{2}\), отже \(a=\frac{1}{2}\).
9
Яка з наведених систем є системою дробових рівнянь?
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\), \(x-y=1\)
\(x+y=3\), \(2x-y=1\)
\(x^2+y^2=5\), \(x-y=1\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\), \(x+y=9\)
Пояснення: Система дробових рівнянь містить змінні у знаменнику. У варіанті \(a\) саме так і є.
10
Що потрібно зробити, щоб перевірити знайдений розв’язок системи дробових рівнянь?
Підставити пару чисел у всі рівняння системи
Переконатися, що знаменники не дорівнюють нулю
Перевірити лише одне рівняння
Порівняти відповідь із ОДЗ
Пояснення: Перевірка включає підстановку в усі рівняння та контроль ОДЗ. Якщо хоча б одна умова не виконується, пара не є розв’язком.
