Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: Функції та їхні властивості. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Функції та їхні властивості, Похідна та її застосування, Первісна і визначений інтеграл, Планіметрія, Стереометрія, Ймовірність і комбінаторика. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Знайдіть область визначення функції f(x) = √(2x - 3) / (x - 5).
x ≥ 3/2, x ≠ 5
x > 3/2, x ≠ 5
x ≥ 3/2, x = 5
x > 3/2
Пояснення: Підкореневий вираз має бути невід’ємним: 2x - 3 ≥ 0, звідси x ≥ 3/2. Також знаменник не може дорівнювати нулю, тому x ≠ 5.
2
Знайдіть похідну функції f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x - 1.
f'(x) = 3x^2 - 8x + 7
f'(x) = 3x^2 - 4x + 7
f'(x) = x^2 - 8x + 7
f'(x) = 3x^3 - 8x^2 + 7
Пояснення: Застосовуємо правило похідної степеня почленно: (x^3)' = 3x^2, (-4x^2)' = -8x, (7x)' = 7, (-1)' = 0.
3
Знайдіть критичні точки функції f(x) = x^2 - 6x + 5.
x = 3
x = -3
x = 6
x = 5
Пояснення: Критичні точки знаходять із рівняння f'(x) = 0. Маємо f'(x) = 2x - 6, тому 2x - 6 = 0, звідси x = 3.
4
Обчисліть ∫(3x^2 - 2x + 1) dx.
x^3 - x^2 + x + C
3x^3 - 2x^2 + x + C
x^3 - 2x + C
x^2 - x + 1 + C
Пояснення: Інтегруємо почленно: ∫3x^2 dx = x^3, ∫(-2x) dx = -x^2, ∫1 dx = x. Додаємо сталу інтегрування C.
5
Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком y = x і віссю Ox на відрізку [0; 4].
8
4
16
2
Пояснення: Площа під графіком на [0; 4] дорівнює ∫₀⁴ x dx = [x^2/2]₀⁴ = 16/2 = 8.
6
У трикутнику ABC відомо, що AB = AC і ∠A = 40°. Які кути при основі трикутника?
70° і 70°
40° і 40°
80° і 80°
50° і 50°
Пояснення: У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. Сума кутів трикутника 180°, тому (180° - 40°) / 2 = 70°.
7
Знайдіть об’єм циліндра з радіусом основи 3 см і висотою 10 см.
90π см^3
30π см^3
60π см^3
120π см^3
Пояснення: Об’єм циліндра V = πr^2h. Підставляємо: V = π·3^2·10 = 90π см^3.
8
Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4 без повторення цифр?
12
16
8
24
Пояснення: На перше місце можна поставити 4 варіанти, на друге — 3 варіанти. Отже, 4 · 3 = 12.
9
У класі 12 учнів, серед них 7 дівчат і 5 хлопців. Яка ймовірність випадково вибрати дівчину?
7/12
5/12
7/5
1/2
Пояснення: Ймовірність дорівнює відношенню кількості сприятливих випадків до загальної кількості: 7/12.
10
Знайдіть значення похідної функції f(x) = 2x^3 - x у точці x = 2.
23
22
24
8
Пояснення: f'(x) = 6x^2 - 1. Тоді f'(2) = 6·4 - 1 = 23.
11
Яке з наведених тверджень є правильним для функції y = x^2?
Функція парна
Функція непарна
Функція періодична
Функція спадна на всій області визначення
Пояснення: Для парної функції виконується f(-x) = f(x). Маємо (-x)^2 = x^2, отже функція y = x^2 парна.
