Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 10 клас: Алгебра, Геометрія. 30 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебра, Геометрія, Функції, Рівняння, Нерівності, Тригонометрія, Планіметрія. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = 3; x = -1
x = 1; x = -3
x = 3; x = 1
x = -1; x = -3
Пояснення: Знаходимо дискримінант: D = 25 + 24 = 49. Корені: x = (5 ± 7)/4, тобто x = 3 і x = -1.
2
Яке значення виразу (a^3)^2 · a^-4 ?
a^2
a^6
a^-2
a^8
Пояснення: (a^3)^2 = a^6, далі a^6 · a^-4 = a^2.
3
Спростіть вираз: (x^2 - 9)/(x - 3), x ≠ 3.
x + 3
x - 3
x^2 + 3
x^2 - 3
Пояснення: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), скорочуємо на x - 3.
4
Розв’яжіть нерівність: 3x - 7 > 2x + 5.
x > 12
x < 12
x > -12
x < -12
Пояснення: Переносимо: 3x - 2x > 5 + 7, отже x > 12.
5
Знайдіть область визначення функції y = √(5 - 2x).
x ≤ 5/2
x ≥ 5/2
x < 5/2
усі дійсні числа
Пояснення: Підкореневий вираз має бути невід’ємним: 5 - 2x ≥ 0, тому x ≤ 5/2.
6
Обчисліть: log_2 32.
5
4
6
8
Пояснення: 32 = 2^5, отже log_2 32 = 5.
7
Розв’яжіть систему: { x + y = 7; x - y = 1 }
x = 4, y = 3
x = 3, y = 4
x = 5, y = 2
x = 1, y = 6
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, тому x = 4. Тоді y = 3.
8
Знайдіть похідну функції f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7.
f'(x) = 12x^3 - 4x
f'(x) = 12x^4 - 4x^2
f'(x) = 3x^3 - 2x
f'(x) = 12x^3 - 2x
Пояснення: Застосовуємо правило степеня: (3x^4)' = 12x^3, (-2x^2)' = -4x, (7)' = 0.
9
Який із графіків відповідає функції y = x^2 - 4?
Парабола, зміщена вниз на 4 одиниці
Пряма, що проходить через початок координат
Парабола, зміщена вліво на 4 одиниці
Гіпербола з двома вітками
Пояснення: Графік y = x^2 - 4 — це парабола y = x^2, зсунута вниз на 4.
10
Розв’яжіть рівняння: x^2 = 49.
x = 7 або x = -7
x = 49
x = 7
x = -7
Пояснення: Квадрат числа дорівнює 49 для двох значень: 7 і -7.
11
Обчисліть: sin 30° + cos 60°.
1
1/2
√3/2
0
Пояснення: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, сума дорівнює 1.
12
Спростіть вираз: (a^2b^3)^2.
a^4b^6
a^2b^6
a^4b^3
a^2b^3
Пояснення: Підносимо кожний множник до квадрата: a^4b^6.
13
Розв’яжіть нерівність: x^2 - 5x + 6 ≤ 0.
2 ≤ x ≤ 3
x ≤ 2 або x ≥ 3
x < 2 або x > 3
усі x
Пояснення: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Добуток ≤ 0 між коренями включно.
14
Знайдіть суму перших 5 членів арифметичної прогресії: 2, 5, 8, ...
40
35
45
50
Пояснення: Перші 5 членів: 2, 5, 8, 11, 14. Сума дорівнює 40.
15
Яке значення має вираз | -7 | - | 3 | ?
4
-4
10
-10
Пояснення: | -7 | = 7, | 3 | = 3, тому 7 - 3 = 4.
16
Обчисліть: 2^3 · 4^2.
128
64
32
16
Пояснення: 2^3 = 8, 4^2 = 16, отже 8 · 16 = 128.
17
Розв’яжіть рівняння: 1/(x - 2) = 3.
x = 7/3
x = 5/3
x = 2/3
x = 3/7
Пояснення: x - 2 = 1/3, тому x = 7/3.
18
На координатній площині точка A(2; -3). У якій чверті вона лежить?
IV чверть
I чверть
II чверть
III чверть
Пояснення: x > 0, y < 0, отже точка лежить у IV чверті.
19
Знайдіть значення виразу: (x - 1)(x + 1), якщо x = 5.
24
25
26
20
Пояснення: (5 - 1)(5 + 1) = 4 · 6 = 24.
20
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 + x = 0.
x = 0 або x = -1/2
x = 0 або x = 1/2
x = -1 або x = 1/2
x = 0
Пояснення: Виносимо x за дужки: x(2x + 1) = 0, тому x = 0 або x = -1/2.
21
У трикутнику два кути дорівнюють 35° і 65°. Знайдіть третій кут.
80°
90°
70°
100°
Пояснення: Сума кутів трикутника дорівнює 180°, тому третій кут: 180° - 35° - 65° = 80°.
22
У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу.
10 см
12 см
14 см
9 см
Пояснення: За теоремою Піфагора: c = √(6^2 + 8^2) = √100 = 10.
23
Знайдіть площу кола з радіусом 3 см.
9π см^2
6π см^2
12π см^2
3π см^2
Пояснення: S = πr^2 = π·3^2 = 9π.
24
Яка довжина кола, якщо його радіус дорівнює 5 см?
10π см
25π см
5π см
20π см
Пояснення: L = 2πr = 2π·5 = 10π см.
25
У паралелограмі один кут дорівнює 68°. Знайдіть суміжний з ним кут.
112°
68°
122°
90°
Пояснення: Суміжні кути в паралелограмі в сумі дають 180°, тому 180° - 68° = 112°.
26
Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами 2 см, 3 см і 5 см.
30 см^3
10 см^3
15 см^3
20 см^3
Пояснення: V = abc = 2 · 3 · 5 = 30 см^3.
27
На рисунку зображено рівнобедрений трикутник, у якого кут при вершині дорівнює 40°. Знайдіть кут при основі.
70°
40°
50°
80°
Пояснення: Сума кутів трикутника 180°, тому два рівні кути при основі: (180° - 40°)/2 = 70°.
28
Знайдіть площу прямокутника, якщо його сторони 7 см і 4 см.
28 см^2
11 см^2
14 см^2
24 см^2
Пояснення: S = ab = 7 · 4 = 28 см^2.
29
Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Якщо діагоналі дорівнюють 6 см і 8 см, знайдіть площу ромба.
24 см^2
48 см^2
14 см^2
12 см^2
Пояснення: S = (d1 · d2)/2 = (6 · 8)/2 = 24 см^2.
30
У колі хорда відтинає дугу, що відповідає центральному куту 120°. Яка частка кола відповідає цій дузі?
1/3
1/2
2/3
1/4
Пояснення: 120° із 360° становить 1/3 кола.
