Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: логарифмічні рівняння. 12 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Логарифмічні рівняння, Властивості логарифмів, ОДЗ логарифмічних виразів, Перетворення логарифмічних рівнянь, Розв’язування логарифмічних рівнянь різних типів. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть рівняння: log₂(x - 1) = 3.
x = 7
x = 8
x = 9
x = 6
Пояснення: За означенням логарифма: x - 1 = 2³ = 8, звідси x = 9. Але серед варіантів правильного значення немає.
2
Яка область допустимих значень для рівняння log₃(x + 2) = log₃(5 - x)?
x > -2 і x < 5
x ≥ -2 і x ≤ 5
x > 2 і x < 5
x > -2 і x > 5
Пояснення: Аргументи логарифмів мають бути додатними: x + 2 > 0 і 5 - x > 0, тому -2 < x < 5.
3
Розв’яжіть рівняння: log₅(x) + log₅(x - 4) = 1.
x = 5
x = 4
x = 1
x = 5/2
Пояснення: Об’єднуємо логарифми: log₅(x(x - 4)) = 1, отже x(x - 4) = 5. Маємо x² - 4x - 5 = 0, звідси x = 5 або x = -1. За ОДЗ x > 4, тому x = 5.
4
Розв’яжіть рівняння: log₂(x) = log₂(3x - 4).
x = 2
x = 4
x = 1
x = 0
Пояснення: Оскільки основи однакові, прирівнюємо аргументи: x = 3x - 4. Маємо 2x = 4, тому x = 2. Перевірка ОДЗ: x > 0 і 3x - 4 > 0, отже x = 2 підходить.
5
Які з наведених чисел є розв’язками рівняння log₂(x - 1) + log₂(x - 3) = 3?
x = 5
x = -1
x = 1
x = 3
Пояснення: Після об’єднання маємо log₂((x - 1)(x - 3)) = 3, тобто (x - 1)(x - 3) = 8. Звідси x² - 4x - 5 = 0, тому x = 5 або x = -1. За ОДЗ x > 3, отже підходить лише x = 5.
6
Розв’яжіть рівняння: log₄(x + 1) = 1/2.
x = 1
x = 2
x = 3
x = 4
Пояснення: x + 1 = 4^(1/2) = 2, тому x = 1. Серед варіантів правильного значення немає.
7
Розв’яжіть рівняння: log₃(x² - 4x) = 2.
x = 6 або x = -2
x = 2 або x = 4
x = 0 або x = 4
x = 1 або x = 3
Пояснення: Маємо x² - 4x = 3² = 9, тобто x² - 4x - 9 = 0. Корені: x = 2 ± √13. Перевірка ОДЗ: x(x - 4) > 0. Отже правильних цілих розв’язків немає.
8
Яке з рівнянь є рівносильним рівнянню log₇(x - 2) = log₇(9 - x)?
x - 2 = 9 - x
x - 2 = x - 9
x + 2 = 9 - x
x - 2 = 9 + x
Пояснення: За однакових основ і за умови існування логарифмів прирівнюємо аргументи: x - 2 = 9 - x.
9
Виберіть усі значення x, які задовольняють ОДЗ рівняння log₂(x - 5) + log₂(2x - 1) = 4.
x > 5
x > 1/2
x > 5 і x > 1/2
x < 5
Пояснення: Потрібно, щоб x - 5 > 0 і 2x - 1 > 0. Разом це дає x > 5.
10
Розв’яжіть рівняння: log₂(x - 1) = log₂(2x - 5) + 1.
x = 3
x = 2
x = 4
x = 5
Пояснення: Переносимо 1 як log₂2: log₂(x - 1) = log₂(2(2x - 5)) = log₂(4x - 10). Тоді x - 1 = 4x - 10, звідси 9 = 3x, отже x = 3. ОДЗ виконується.
11
Розв’яжіть рівняння: log₅(x + 4) - log₅(x - 1) = 1.
x = 6
x = 5
x = 1
x = 0
Пояснення: Об’єднуємо логарифми: log₅((x + 4)/(x - 1)) = 1, тому (x + 4)/(x - 1) = 5. Маємо x + 4 = 5x - 5, звідси 9 = 4x, тобто x = 9/4. За ОДЗ x > 1, отже розв’язок підходить.
12
Розв’яжіть рівняння: log₃(x) + log₃(9/x) = 2.
x = 3
x = 9
x = 1
x = 0
Пояснення: Сума логарифмів дорівнює log₃(9) = 2 для будь-якого x > 0. Отже рівняння виконується для всіх x > 0. Серед варіантів лише x = 1 підходить.
