Про цю підготовку
Задача з математики, 11 клас: складне тренувальне завдання. Покрокові підказки, повне розв’язання й відповідь. Теми: Означення логарифма. Тривалість — 55 хв.
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
Пам’ятай: \(\log_a b = c\) тоді й лише тоді, коли \(a^c=b\), де \(a>0\), \(a\neq1\), \(b>0\).
Підказка 2
Спочатку перевір, чи можна взагалі записати логарифм: основа має бути додатною і не дорівнювати 1, а число під знаком логарифма — додатним.
Підказка 3
Якщо логарифмічне рівняння зводиться до степеневого, порівняй основи або показники степенів.
Підказка 4
У завданнях на знаходження основи логарифма зручно перейти до рівняння виду \(a^x=b\).
Підказка 5
Для рівнянь із кількома логарифмами спочатку об’єднай їх за означенням, а потім розв’яжи отримане рівняння.
Покрокове розв’язання
1) \(\log_2 8=3\), бо \(2^3=8\). 2) \(\log_4 64=3\), бо \(4^3=64\). 3) \(\log_9 3=\frac12\), бо \(9^{1/2}=3\). 4) \(\log_5 125=3\), бо \(5^3=125\). 5) \(\log_\sqrt{2} 2=2\), бо \((2^{1/2})^2=2\). 6) \(\log_x 27=3\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3\) (умови: \(x>0\), \(x\neq1\)). 7) \(\log_x 256=4\Rightarrow x^4=256\Rightarrow x=4\). 8) \(\log_x 4=\frac12\Rightarrow x^{1/2}=4\Rightarrow x=16\). Але в завданні відповідь має бути знайдена за означенням; якщо основа \(x\), то \(x^{1/2}=4\), звідси \(x=16\). 9) \(\log_x \frac1{27}=-3\Rightarrow x^{-3}=\frac1{27}\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3\). 10) \(\log_x \frac1{9}=2\Rightarrow x^2=\frac1{9}\Rightarrow x=\frac13\) (бо основа додатна). 11) \(\log_2 x=3\Rightarrow x=2^3=8\). 12) \(\log_3 x=\log_3 9\Rightarrow x=9\). Якщо ж потрібно саме за означенням: \(\log_3 x=2\Rightarrow x=9\). 13) \(\log_2 x=\frac32\Rightarrow x=2^{3/2}=2\sqrt2\). 14) \(\log_4 x=-1\Rightarrow x=4^{-1}=\frac14\). 15) \(\log_7 x=0\Rightarrow x=7^0=1\). Примітка: у пунктах 8, 12, 13 у формулюванні варто узгодити точний запис, щоб відповідь однозначно відповідала означенню логарифма.
