Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: логарифми та призма. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Логарифмічні вирази та їх перетворення, Логарифмічні рівняння, Призма, Підготовка до НМТ. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Спростіть вираз: \(\log_2 8 + \log_2 \frac{1}{4}\).
1
2
0
-1
Пояснення: \(\log_2 8=3\), \(\log_2 \frac{1}{4}=-2\), тому сума дорівнює \(1\). Перевірте уважно: правильна відповідь — \(1\).
2
Яке з перетворень є правильним для виразу \(\log_a x + \log_a y\), де \(a>0, a\neq1\)?
\(\log_a(xy)\)
\(\log_a(x+y)\)
\(\log_a\frac{x}{y}\)
\(\log_a(x-y)\)
Пояснення: Сума логарифмів з однаковою основою дорівнює логарифму добутку: \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\).
3
Знайдіть область допустимих значень виразу \(\log_3(x-2)\).
\(x>2\)
\(x\ge 2\)
\(x<2\)
\(x\neq 2\)
Пояснення: Аргумент логарифма має бути додатним: \(x-2>0\), отже \(x>2\).
4
Розв’яжіть рівняння: \(\log_2(x-1)=3\).
\(x=5\)
\(x=8\)
\(x=9\)
\(x=7\)
Пояснення: \(\log_2(x-1)=3\Rightarrow x-1=2^3=8\Rightarrow x=9\).
5
Спростіть вираз: \(\log_5 125 - 2\log_5 5\).
1
2
3
0
Пояснення: \(\log_5 125=3\), \(\log_5 5=1\), тому \(3-2\cdot1=1\). Уважно: правильне значення виразу — \(1\).
6
Розв’яжіть рівняння: \(\log_3(x)+\log_3(x-2)=2\).
\(x=3\)
\(x=1\)
\(x=\sqrt{10}\)
\(x=10\)
Пояснення: Об’єднуємо логарифми: \(\log_3(x(x-2))=2\), отже \(x(x-2)=9\). Маємо \(x^2-2x-9=0\), звідси \(x=1\pm\sqrt{10}\). З ОДЗ \(x>2\), тому \(x=1+\sqrt{10}\).
7
У прямій призмі площа основи дорівнює 12 см², висота — 7 см. Знайдіть об’єм призми.
19 см³
84 см³
42 см³
24 см³
Пояснення: Об’єм призми: \(V=S_{осн}\cdot h=12\cdot7=84\) см³.
8
У правильної трикутної призми сторона основи дорівнює 6 см, висота призми — 10 см. Знайдіть площу бічної поверхні.
60 см²
120 см²
180 см²
36 см²
Пояснення: У правильної призми площа бічної поверхні дорівнює периметру основи, помноженому на висоту. Периметр рівностороннього трикутника: \(3\cdot6=18\). Тоді \(S_{біч}=18\cdot10=180\) см². Уважно: правильна відповідь — \(180\) см².
9
У прямій призмі основа — паралелограм зі сторонами 5 см і 8 см та кутом між ними 30°. Висота призми 9 см. Знайдіть об’єм призми.
90 см³
180 см³
\(90\sqrt{3}\) см³
\(120\sqrt{3}\) см³
Пояснення: Площа основи паралелограма: \(S=ab\sin30^\circ=5\cdot8\cdot\frac12=20\) см². Об’єм: \(V=20\cdot9=180\) см³.
10
Які з наведених тверджень є правильними?
\(\log_a 1=0\) для \(a>0, a\neq1\)
\(\log_a a^x=x\) для \(a>0, a\neq1\)
\(\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y\)
Якщо \(\log_a x=\log_a y\), то \(x=y\)
Пояснення: Правильні твердження: \(\log_a1=0\), \(\log_a a^x=x\), а також рівність логарифмів з однаковою основою означає рівність аргументів. Формула для суми аргументів у логарифмі неправильна.
