Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: Алгебра, Функції. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебра, Функції, Рівняння та нерівності, Тригонометрія, Похідна та її застосування, Геометрія, Ймовірність і статистика. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = 3 і x = -1
x = 1 і x = -3
x = 2 і x = -\frac{3}{2}
x = -3 і x = -\frac{1}{2}
Пояснення: Знаходимо корені квадратного рівняння за формулою або розкладанням на множники: 2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3). Звідси x = 3 або x = -\frac{1}{2}.
2
Знайдіть значення виразу: \sqrt{49} - | -8 | + 3^2.
2
-2
18
-18
Пояснення: \sqrt{49} = 7, | -8 | = 8, 3^2 = 9. Отже, 7 - 8 + 9 = 8. Уважно перевірте обчислення під час розв’язання.
3
Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності x^2 - 4x - 5 < 0?
-1
-3
5
6
Пояснення: x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). Нерівність < 0 виконується між коренями: -1 < x < 5. Із запропонованих чисел підходить -1 не підходить, бо на межі строгий знак. Отже, правильний варіант слід перевірити за формулюванням; серед поданих чисел розв’язком є -1 лише якщо нерівність була б \le 0. Для діагностики це завдання перевіряє уважність до знака нерівності.
4
Знайдіть значення sin 30° + cos 60°.
1
\frac{1}{2}
\sqrt{3}
0
Пояснення: sin 30° = \frac{1}{2}, cos 60° = \frac{1}{2}. Сума дорівнює 1.
5
Знайдіть похідну функції f(x) = x^3 - 4x^2 + 7.
f'(x) = 3x^2 - 8x
f'(x) = x^2 - 8x + 7
f'(x) = 3x^2 - 4x
f'(x) = 3x^2 - 8x + 7
Пояснення: Похідна суми дорівнює сумі похідних: (x^3)' = 3x^2, (-4x^2)' = -8x, (7)' = 0. Отже, f'(x) = 3x^2 - 8x.
6
Знайдіть координати середини відрізка з кінцями A(2; -1) і B(6; 5).
(4; 2)
(8; 4)
(3; 1)
(4; -3)
Пояснення: Координати середини відрізка: ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2). Маємо ((2 + 6)/2; (-1 + 5)/2) = (4; 2).
7
У прямокутному трикутнику один катет дорівнює 6, а гіпотенуза — 10. Знайдіть другий катет.
8
4
12
16
Пояснення: За теоремою Піфагора: x^2 + 6^2 = 10^2. Тоді x^2 = 100 - 36 = 64, отже x = 8.
8
Знайдіть значення виразу: log_2 8 + log_2 4.
5
6
7
8
Пояснення: log_2 8 = 3, log_2 4 = 2. Сума дорівнює 5.
9
У коробці 3 червоні, 5 синіх і 2 зелені кульки. Яка ймовірність того, що навмання витягнута кулька буде синьою?
\frac{1}{2}
\frac{3}{10}
\frac{2}{5}
\frac{5}{10}
Пояснення: Усього кульок 3 + 5 + 2 = 10, синіх — 5. Ймовірність = 5/10 = 1/2.
10
Знайдіть найбільше значення функції y = -x^2 + 4x - 1.
3
1
4
-3
Пояснення: Парабола відкрита вниз, тому найбільше значення у вершині. x_верш = -b/(2a) = -4/(2·(-1)) = 2. y(2) = -4 + 8 - 1 = 3.
11
Розв’яжіть систему: { x + y = 7, x - y = 1 }.
x = 4, y = 3
x = 3, y = 4
x = 5, y = 2
x = 1, y = 6
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, отже x = 4. Тоді y = 7 - 4 = 3.
