Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 10 клас: Алгебраїчні вирази. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебраїчні вирази, Рівняння та нерівності, Функції та їхні властивості, Степені, корені, логарифми, Елементи тригонометрії, Геометрія на площині. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Спростіть вираз: (2x - 3)^2 - (x - 1)(x + 1).
3x^2 - 12x + 10
3x^2 - 12x + 8
x^2 - 6x + 8
4x^2 - 12x + 10
Пояснення: Розкриваємо дужки: (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9, а (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1. Тоді маємо 4x^2 - 12x + 9 - (x^2 - 1) = 3x^2 - 12x + 10. У варіантах правильної відповіді немає, тому перевіримо уважно: правильний результат — 3x^2 - 12x + 10.
2
Розв’яжіть рівняння: 2x^2 - 5x - 3 = 0.
x = 3 і x = -1
x = -3 і x = 1
x = 1 і x = -3
x = 3 і x = 1
Пояснення: Знаходимо корені квадратного рівняння: D = (-5)^2 - 4·2·(-3) = 49. Тоді x = (5 ± 7)/4, звідси x1 = 3, x2 = -1.
3
Які з наведених тверджень є правильними для функції y = -2x + 5?
Функція є лінійною
Графік функції — пряма
Функція зростає на всій області визначення
Кутовий коефіцієнт дорівнює -2
Пояснення: Функція y = -2x + 5 має вигляд y = kx + b, отже є лінійною, її графік — пряма, а кутовий коефіцієнт k = -2. Оскільки k < 0, функція спадає, а не зростає.
4
Знайдіть значення виразу: 81^(3/4).
27
12
9
18
Пояснення: 81 = 3^4, тому 81^(3/4) = (3^4)^(3/4) = 3^3 = 27.
5
Розв’яжіть нерівність: x^2 - 4x - 5 > 0.
(-∞; -1) ∪ (5; +∞)
(-1; 5)
(-∞; 5) ∪ (-1; +∞)
[-1; 5]
Пояснення: Розкладемо на множники: x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). Добуток додатний поза коренями, тому розв’язок: (-∞; -1) ∪ (5; +∞).
6
Обчисліть: log_2 32 + log_2 4.
5
6
7
8
Пояснення: log_2 32 = 5, бо 2^5 = 32, а log_2 4 = 2, бо 2^2 = 4. Сума дорівнює 7. У варіантах правильної відповіді немає, тому правильний результат — 7.
7
Які з наведених формул є тотожностями?
sin^2 x + cos^2 x = 1
tg x = sin x / cos x
cos(x + y) = cos x + cos y
1 - cos^2 x = sin^2 x
Пояснення: Основна тригонометрична тотожність sin^2 x + cos^2 x = 1 є правильною. Також tg x = sin x / cos x та 1 - cos^2 x = sin^2 x випливають з основної тотожності. Формула cos(x + y) = cos x + cos y є хибною.
8
У трикутнику два кути дорівнюють 35° і 65°. Знайдіть третій кут.
70°
80°
90°
100°
Пояснення: Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Отже, третій кут: 180° - 35° - 65° = 80°. У варіантах правильної відповіді немає, тому правильний результат — 80°.
9
Знайдіть похідну функції f(x) = 3x^2 - 4x + 7.
f'(x) = 6x - 4
f'(x) = 3x - 4
f'(x) = 6x + 4
f'(x) = 3x^2 - 4
Пояснення: Похідна від 3x^2 дорівнює 6x, від -4x — -4, від сталої 7 — 0. Отже, f'(x) = 6x - 4.
10
Які з чисел є розв’язками рівняння x^2 = 16?
4
-4
8
-8
Пояснення: Якщо x^2 = 16, то x = ±4. Інші числа не підходять.
