Калькулятор матриц онлайн
Найдите определитель, обратную и транспонированную матрицу, ранг, сумму, произведение или степень матриц до 6 × 6. Калькулятор считает в обыкновенных дробях и показывает решение шаг за шагом.
Целые числа, дроби (1/2) и десятичные (0,75) — все считается точно. Пустая клетка — это 0.
Определитель матрицы равен −1.
Решение шаг за шагом
Считаем по правилу треугольников: три произведения со знаком «+» вдоль главной диагонали, три со знаком «−» вдоль побочной:
= 2·3·(−3) + 5·4·5 + 7·6·(−2) − 7·3·5 − 2·4·(−2) − 5·6·(−3)= −18 + 100 + (−84) − 105 − (−16) − (−90)= −1
Формула
Формула меняется вместе с выбранной операцией. aᵢⱼ — элемент в i-й строке и j-м столбце, Mᵢⱼ — минор (определитель без i-й строки и j-го столбца), adj A — присоединенная матрица.
Как получился результат
Обратная матрица существует, только если определитель не равен нулю. Проверка: A · A⁻¹ = E, единичная матрица.
Как найти определитель и обратную матрицу вручную
- Определитель 2 × 2
Из произведения элементов главной диагонали вычтите произведение побочной: для строк (1; 2) и (3; 4) это 1 · 4 − 2 · 3 = −2.
- Определитель 3 × 3 — правило треугольников
Сложите три произведения вдоль главной диагонали и двух «треугольников» рядом с ней и вычтите три таких же произведения для побочной диагонали.
- Обратная матрица методом Гаусса — Жордана
Допишите справа единичную матрицу [A | E] и преобразованиями строк приведите левую часть к E. Справа окажется A⁻¹.
- Произведение матриц — строка на столбец
Элемент cᵢⱼ — сумма произведений i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй. Количество столбцов A должно быть равно количеству строк B.
Линейная алгебра на первом курсе? Найдите репетитора по математике для 11 класса
Частые вопросы
Для 2 × 2: ad − bc. Для 3 × 3 — правило треугольников или разложение по строке. Большую матрицу удобно привести к треугольному виду методом Гаусса и перемножить элементы диагонали.
Проверьте, что определитель не равен нулю, допишите единичную матрицу [A | E] и преобразованиями строк приведите левую часть к E. Правая часть станет A⁻¹.
Когда определитель равен нулю: такие матрицы называют вырожденными. Калькулятор в этом случае пишет, что обратной матрицы нет.
Каждый элемент результата — сумма произведений строки первой матрицы на столбец второй. Умножать можно, только если количество столбцов первой равно количеству строк второй.
Это наибольшее количество линейно независимых строк. Чтобы найти ранг, приведите матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса и посчитайте ненулевые строки.
Пишите 1/2, −3 или 0,75 — калькулятор переведет все в обыкновенные дроби. Пустая клетка считается нулем.
Матрицы не сходятся?
Запишитесь на урок-знакомство с репетитором Mathema. 30 минут онлайн, без обязательств — найдем пробел и составим план, как его закрыть.
Курс математики онлайн →НМТ по математике: формат, формулы и пробный тест → Преподаёте математику? Работа репетитором по математике на Mathema.me →