Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 7 клас: рівняння, вирази, степені. 19 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Рівняння та їхні корені, Рівносильні рівняння, Складання та розв’язування текстових задач рівняннями, Вирази та їхні значення, Тотожні перетворення виразів, Степені та властивості степенів. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Визначте, які записи є рівняннями.
4x - 3 = 9
5x + 2
7x > 14
12 - 5 = 7
Пояснення: Рівняння — це рівність, у якій є невідоме число. Запис 4x - 3 = 9 є рівнянням, а 5x + 2 — вираз, 7x > 14 — нерівність, 12 - 5 = 7 — числова рівність без невідомого.
2
Перевірте, чи є число 2 коренем рівнянь.
3x - 1 = 5
x + 4 = 9
Пояснення: Підставляємо x = 2. У рівнянні 3x - 1 = 5 маємо 3·2 - 1 = 5, отже 2 — корінь. У рівнянні x + 4 = 9 маємо 2 + 4 = 6, тому 2 не є коренем.
3
Визначте, чи є рівносильними рівняння.
x + 4 = 9 і 2x = 10
x + 2 = 5 і 2x = 8
Пояснення: Рівносильні рівняння мають однакові корені. У пари x + 4 = 9 і 2x = 10 корені різні: x = 5 і x = 5, отже вони рівносильні. У пари x + 2 = 5 і 2x = 8 корені x = 3 і x = 4, тому вони не рівносильні.
4
Розв’яжіть рівняння 5(x - 2) = 3x + 8.
x = 9
x = 7
x = 11
x = 1
Пояснення: Розкриємо дужки: 5x - 10 = 3x + 8. Перенесемо: 5x - 3x = 8 + 10, отримаємо 2x = 18, звідси x = 9.
5
Визначте кількість коренів рівнянь.
0x = 0 — безліч коренів
0x = 5 — жодного кореня
3x = 0 — один корінь
Пояснення: Якщо 0x = 0, то рівність істинна для будь-якого x, тому коренів безліч. Якщо 0x = 5, то розв’язків немає. Якщо 3x = 0, то x = 0, тобто є один корінь.
6
Задумали число. Якщо до нього додати 9, отримаємо число, яке на 3 менше від подвоєного задуманого числа. Знайдіть задумане число.
x = 12
x = 6
x = 9
x = 3
Пояснення: Нехай задумане число — x. Маємо рівняння x + 9 = 2x - 3. Тоді 9 + 3 = 2x - x, отже x = 12.
7
У трьох коробках лежать олівці. У першій коробці x олівців, у другій — на 6 більше, ніж у першій, а в третій — удвічі більше, ніж у першій. Усього 54 олівці. Скільки олівців у першій коробці?
12
9
15
18
Пояснення: Складаємо рівняння: x + (x + 6) + 2x = 54. Маємо 4x + 6 = 54, звідси 4x = 48, тому x = 12.
8
Запишіть у вигляді виразу.
Число a збільшили втричі та зменшили на 7: 3a - 7
Половина суми чисел x і y: (x + y) / 2
Число a збільшили втричі та зменшили на 7: a^3 - 7
Половина суми чисел x і y: x + y / 2
Пояснення: Треба уважно читати умову: «втричі» означає помножити на 3, а «половина суми» — це вся сума, поділена на 2.
9
Знайдіть значення виразу.
3a - 2b, якщо a = -2, b = 4; значення -14
2x^2 - 3y, якщо x = -2, y = 1; значення 5
Пояснення: Підставляємо значення змінних. Для 3a - 2b: 3·(-2) - 2·4 = -6 - 8 = -14. Для 2x^2 - 3y: 2·(-2)^2 - 3·1 = 2·4 - 3 = 5.
10
Ширина прямокутника дорівнює x см, а довжина на 4 см більша. Який вираз задає периметр прямокутника після спрощення?
4x + 8
2x + 4
x + 4
2x + 8
Пояснення: Ширина — x, довжина — x + 4. Периметр: 2(x + x + 4) = 2(2x + 4) = 4x + 8.
11
Визначте, які пари виразів є тотожно рівними.
3(x + 2) і 3x + 6
2(x - 4) і 2x - 4
Пояснення: Розкриваємо дужки. 3(x + 2) = 3x + 6, тому ці вирази тотожно рівні. А 2(x - 4) = 2x - 8, отже 2x - 4 не підходить.
12
Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки: 3(2a - 5) - 4(a + 1).
2a - 19
2a - 11
6a - 9
10a - 19
Пояснення: 3(2a - 5) - 4(a + 1) = 6a - 15 - 4a - 4 = 2a - 19.
13
Розкрийте дужки та спростіть вираз: -(3x - 7) + 2x.
-x + 7
5x - 7
x - 7
-5x + 7
Пояснення: Мінус перед дужками змінює знаки: -(3x - 7) = -3x + 7. Додаємо 2x: -3x + 7 + 2x = -x + 7.
14
Доведіть тотожність: 5(a - 2) + 10 = ?
5a
5a - 10
5a + 10
a - 2
Пояснення: Розкриваємо дужки: 5(a - 2) + 10 = 5a - 10 + 10 = 5a.
15
Запишіть у вигляді степеня добуток 4 * 4 * 4 * 4. Укажіть основу та показник степеня.
4^4; основа 4, показник 4
4^3; основа 4, показник 3
4^4; основа 4, показник 3
4^5; основа 5, показник 4
Пояснення: Добуток чотирьох однакових множників 4 записуємо як 4^4. Основа — 4, показник — 4.
16
Обчисліть.
(-3)^4 = 81
-3^4 = -81
(-2)^5 = -32
Пояснення: У виразі (-3)^4 піднесення до степеня виконується для числа -3, тому маємо 81. У виразі -3^4 спочатку обчислюємо 3^4 = 81, а потім ставимо мінус: -81. У виразі (-2)^5 отримуємо -32.
17
Обчисліть.
2^5 = 32
3^4 = 81
10^3 = 1000
Пояснення: 2^5 = 32, 3^4 = 81, 10^3 = 1000.
18
Порівняйте числа, поставивши знак >, < або =.
2^6 > 4^3
2^6 = 4^3
3^3 < 2^5
Пояснення: 2^6 = 64 і 4^3 = 64, тому вони рівні. 3^3 = 27, а 2^5 = 32, тому 3^3 < 2^5.
19
Подайте у вигляді одного степеня.
a^4 * a^3 = a^7
(b^3)^2 = b^6
6^4 : 6^2 = 6^2
Пояснення: При множенні степенів з однаковою основою показники додаємо, при піднесенні степеня до степеня показники множимо, а при діленні степенів з однаковою основою показники віднімаємо.
