Про цю підготовку
Задача з математики, 9 клас: Тригонометрія, одиничне коло, теорема косинусів, квадратні рівняння. Покрокові підказки, повне розв’язання й відповідь. Тривалість — 30 хв.
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
У рівнянні x² = 5x спочатку перенеси все в одну сторону та винеси x за дужки. Пам’ятай: ділити на вираз, що може дорівнювати нулю, не можна без перевірки.
Підказка 2
На одиничному колі абсциса точки — це cos, а ордината — sin. Для кута 90° точка лежить на додатній осі Oy.
Підказка 3
Під час відображення відносно осі Oy змінюється знак x-координати, а y-координата лишається тією самою. Подумай, як це впливає на cos і sin.
Підказка 4
Щоб знайти відстань між двома маршрутами, використай теорему косинусів у трикутнику зі сторонами 5 і 8 та кутом 60° між ними.
Підказка 5
Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони. Для його знаходження зручно застосувати теорему косинусів.
Підказка 6
Познач невідомі сторони як x і x + 2 або x і x - 2. Після підстановки в теорему косинусів отримаєш квадратне рівняння. Перевір, який корінь дає додатні довжини сторін.
Покрокове розв’язання
1) У розв’язанні бота є помилка: не можна просто поділити на x, бо x може дорівнювати 0. Треба перенести все в одну сторону: x² - 5x = 0 x(x - 5) = 0 Звідси маємо два корені: x = 0 або x - 5 = 0, тобто x = 5. Перевірка: 0² = 0 і 5·0 = 0 — підходить; 5² = 25 і 5·5 = 25 — теж підходить. Отже, корені: 0 і 5. 2) На одиничному колі координати точки для кута 90° — (0; 1). За означенням: cos 90° = 0, sin 90° = 1. На рисунку це точка на додатній півосі Oy. 3) Для кута 60° точка має координати (1/2; √3/2). Відображення відносно осі Oy змінює знак лише x-координати, а y-координата не змінюється. Тому нова точка: (-1/2; √3/2). Це відповідає куту 120°, бо точка переходить у II чверть. Отже: cos 120° = -1/2, sin 120° = √3/2. 4) Маємо трикутник зі сторонами 5 км і 8 км та кутом 60° між ними. Шукаємо третю сторону c за теоремою косинусів: c² = 5² + 8² - 2·5·8·cos 60° c² = 25 + 64 - 80·1/2 c² = 89 - 40 = 49. c = 7 км. Отже, відстань між дронами — 7 км. 5) Найбільша сторона — 7 см, тому найбільший кут лежить навпроти неї. Позначимо його γ. За теоремою косинусів: cos γ = (3² + 5² - 7²) / (2·3·5) cos γ = (9 + 25 - 49) / 30 cos γ = -15/30 = -1/2. Отже, γ = 120°. Це і є найбільший кут. 6) Нехай сторони, що утворюють кут 120°, дорівнюють x і x + 2. Тоді третя сторона дорівнює 7. За теоремою косинусів: 7² = x² + (x + 2)² - 2x(x + 2)cos 120°. Оскільки cos 120° = -1/2, маємо: 49 = x² + (x + 2)² + x(x + 2). Розкриємо дужки: 49 = x² + x² + 4x + 4 + x² + 2x 49 = 3x² + 6x + 4 3x² + 6x - 45 = 0 x² + 2x - 15 = 0 (x + 5)(x - 3) = 0. Отже, x = 3 або x = -5. Від’ємне значення не підходить, бо довжина сторони не може бути від’ємною. Тому x = 3, а друга сторона x + 2 = 5. Відповідь: 3 см і 5 см.
