Про цю підготовку
Задача з математики, 9 клас: Алгебра і геометрія: рівняння, системи, трикутники, тригонометрія. Покрокові підказки, повне розв’язання й відповідь. Тривалість — 20 хв.
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
Познач ширину через x, тоді довжина буде x+3. Запиши площу прямокутника як добуток сторін і зведи до квадратного рівняння.
Підказка 2
Не можна без перевірки ділити на x, бо x може дорівнювати нулю. Спочатку винеси спільний множник за дужки.
Підказка 3
Для одного дійсного кореня дискримінант має дорівнювати нулю. Знайди k з цієї умови, а потім підстав у формулу кореня.
Підказка 4
Для першого рівняння шукай два числа, добуток яких 12, а сума 7. Для другого зручно подивитися на дискримінант.
Підказка 5
Познач кількість балів за лайк і за репост через дві змінні. Склади систему з двох рівнянь і розв’яжи її способом, який тобі зручніший.
Підказка 6
Порівняй друге рівняння з подвоєним першим. Якщо вони суперечать одне одному, розв’язків немає. Якщо збігаються, розв’язків безліч.
Підказка 7
Намалюй трикутник із двома відомими сторонами та кутом між ними. Застосуй теорему косинусів і пам’ятай, що шукану відстань треба взяти додатною.
Підказка 8
Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони. Після цього використай теорему косинусів для обчислення косинуса кута.
Підказка 9
Запиши теорему косинусів для сторін 3 і 5 та кута 120°. Зверни увагу, що косинус тупого кута від’ємний.
Підказка 10
Користуйся одиничним колом, симетрією та значеннями для кутів 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°.
Підказка 11
Для синуса 1/2 шукай точки з однаковою висотою на півколі. Для косинуса −√2/2 шукай точки з однаковою горизонтальною координатою.
Підказка 12
Кути 100° і 170° лежать у другій чверті. У цій частині кола синус додатний, а косинус від’ємний.
Підказка 13
Спочатку розкрий дужки. Коли ділиш нерівність на від’ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний.
Підказка 14
Винеси x за дужки, а потім розклади різницю квадратів. Перевір кожен знайдений корінь у початковому рівнянні.
Підказка 15
Окремо опрацюй числові множники, степені a у чисельнику та знаменнику, а також умову, за якої знаменник не дорівнює нулю.
Підказка 16
Познач кут B через x, тоді кут C буде 3x. Використай суму кутів трикутника, а потім знайди суміжний кут.
Підказка 17
Спробуй побачити тут різницю квадратів. Після спрощення підстав x=10 і перевір обчислення.
Підказка 18
Познач меншу сторону через x, а більшу — через x+2. Запиши теорему косинусів для кута 120° і розв’яжи квадратне рівняння.
Покрокове розв’язання
1) Нехай ширина платформи дорівнює x м, тоді довжина — x+3 м. За умовою площа: x(x+3)=40. Маємо x²+3x−40=0, або (x+8)(x−5)=0. Корені: x=−8 і x=5. Від’ємний корінь не підходить, бо довжина сторони не може бути від’ємною. Отже, ширина 5 м, довжина 8 м. 2) Початкове рівняння: x²=5x. Перенесемо все в одну сторону: x²−5x=0. Винесемо x за дужки: x(x−5)=0. Тоді x=0 або x=5. Учень, який поділив на x, втратив випадок x=0, бо ділити на нуль не можна. Перевірка: 0²=5·0 — так; 5²=5·5 — так. 3) Для рівняння x²+6x+k=0 один дійсний корінь означає D=0. Обчислюємо: D=6²−4k=36−4k. Тоді 36−4k=0, звідси k=9. Рівняння стає x²+6x+9=0, тобто (x+3)²=0. Отже, x=−3 — подвійний корінь, іншого немає. 4) а) Підбираємо множники числа 12, сума яких 7: 3 і 4. Отже, x²−7x+12=(x−3)(x−4)=0, тому корені 3 і 4. Перевірка за Вієтом: 3+4=7, 3·4=12. б) Для x²+2x+5=0 дискримінант D=2²−4·1·5=4−20=−16<0, тому дійсних коренів немає. 5) Нехай x — бали за лайк, y — бали за репост. Маємо систему: 3x+2y=17, x+4y=19. Помножимо друге рівняння на 3: 3x+12y=57. Віднімемо перше: 10y=40, звідси y=4. Підставимо: x+16=19, отже x=3. Перевірка: 3·3+2·4=17, 3+4·4=19. 6) Маємо систему x+y=5, 2x+2y=12. Якщо поділити друге рівняння на 2, отримаємо x+y=6. Це суперечить першому рівнянню x+y=5, тому розв’язків немає. Якщо замінити 12 на 10, то друге рівняння стане 2x+2y=10, тобто x+y=5. Воно збігається з першим, отже розв’язків безліч: будь-яка пара вигляду (t, 5−t), де t — довільне число, підходить. Наприклад, (0,5) і (2,3). 7) Нехай відстань між дронами — c. За теоремою косинусів: c²=5²+8²−2·5·8·cos60°. Оскільки cos60°=1/2, маємо c²=25+64−80·1/2=89−40=49. Тоді c=7 км. Беремо додатний корінь, бо відстань не може бути від’ємною. 8) Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони. Найбільша сторона — 7 км, отже шуканий кут лежить навпроти неї. Позначимо його γ. За теоремою косинусів: cosγ=(3²+5²−7²)/(2·3·5)=(9+25−49)/30=−15/30=−1/2. На проміжку від 0° до 180° це кут 120°. Отже, найбільший кут дорівнює 120°. 9) Нехай шукану відстань позначимо c. За теоремою косинусів: c²=3²+5²−2·3·5·cos120°. Оскільки cos120°=−1/2, маємо c²=9+25−30·(−1/2)=34+15=49. Отже, c=7 км. Мінус перед доданком із косинусом лишається, але через від’ємний косинус ця поправка стає додатною. Ця задача пов’язана з №8, бо це той самий трикутник зі сторонами 3, 5 і 7, лише в іншому порядку даних. 10) Послідовно: sin30°=1/2, sin150°=1/2, cos60°=1/2, cos120°=−1/2, cos180°=−1, sin90°=1, cos135°=−√2/2, sin120°=√3/2. Пояснення через симетрію: sin150°=sin(180°−30°)=sin30°=1/2; cos120°=−cos60°=−1/2; sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2. 11) а) sinα=1/2. На відрізку від 0° до 180° це виконується для α=30° і α=150°. б) cosα=−√2/2. На цьому проміжку це виконується для α=135°. На одиничній півокружності горизонтальна пряма y=1/2 перетинає її у двох точках, а вертикальна пряма x=−√2/2 — в одній точці. 12) Кути 100° і 170° лежать у другій чверті, де синус додатний, а косинус від’ємний. Тому sin100°>0, cos100°<0, sin170°>0, cos170°<0. 13) Розкриємо дужки: 3x−6≥5x+4. Перенесемо x в одну сторону, числа — в іншу: 3x−5x≥4+6, тобто −2x≥10. Ділимо на −2 і змінюємо знак нерівності: x≤−5. Перевірка: при x=−5 маємо −21≥−21, істина; при x=0 маємо −6≥4, хибно. 14) x³−9x=0. Виносимо x за дужки: x(x²−9)=0. Далі різниця квадратів: x(x−3)(x+3)=0. Отже, x=0, x=3, x=−3. Щоб не загубити корені, не можна ділити на x без окремого розгляду випадку x=0; треба розкласти вираз на множники й застосувати правило добутку нулю. 15) Початковий вираз має зміст, якщо знаменник не дорівнює нулю, тобто a≠0. Спрощуємо: (3a²)³=27a⁶, тому маємо 27a⁶·a⁴/(9a⁵). Числові множники: 27/9=3. Степені: a⁶·a⁴/a⁵=a^(6+4−5)=a⁵. Отже, відповідь: 3a⁵, a≠0. 16) Нехай кут B=x°, тоді кут C=3x°. Сума кутів трикутника: 40°+x°+3x°=180°. Маємо 4x=140, звідси x=35°. Отже, B=35°, C=105°. Суміжний із C кут дорівнює 180°−105°=75°. 17) Розкриємо дужки: (x+3)²−(x−3)²=(x²+6x+9)−(x²−6x+9)=12x. При x=10 маємо 12·10=120. Другий спосіб: це різниця квадратів, тому [(x+3)−(x−3)]·[(x+3)+(x−3)]=6·2x=12x. 18) Нехай менша сторона дорівнює x см, тоді більша — x+2 см. Кут між ними 120°, третя сторона 7 см. За теоремою косинусів: 7²=x²+(x+2)²−2x(x+2)cos120°. Оскільки cos120°=−1/2, маємо 49=x²+(x+2)²+x(x+2). Розкриємо дужки: 49=x²+(x²+4x+4)+(x²+2x)=3x²+6x+4. Отже, 3x²+6x−45=0, або x²+2x−15=0. Розкладемо: (x+5)(x−3)=0. Корені: x=3 і x=−5. Від’ємний корінь не підходить, бо сторона не може бути від’ємною. Отже, сторони 3 см і 5 см. Це пов’язано з №8 і №9, бо там теж використовується теорема косинусів і трикутник зі сторонами 3, 5, 7.
