Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: системи рівнянь на дві змінні з дробами та квадратним рівнянням. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Системи рівнянь на дві змінні, Раціональні дроби в рівняннях, Квадратні рівняння, Підстановка та додавання як методи розв’язування, Перевірка коренів системи. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть систему:
{ x + y = 7
{ x - y = 1
Яка пара є розв’язком системи?
(4; 3)
(3; 4)
(5; 2)
(6; 1)
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, звідси x = 4. Тоді y = 3. Отже, правильна відповідь — (4; 3).
2
Розв’яжіть систему:
{ x + y = 5
{ x = 2y
Яка пара є розв’язком системи?
(10; -5)
(10/3; 5/3)
(5/3; 10/3)
(3; 2)
Пояснення: Підставляємо x = 2y у перше рівняння: 2y + y = 5, тобто 3y = 5, звідси y = 5/3, x = 10/3.
3
Розв’яжіть систему:
{ x/2 + y/3 = 4
{ x - y = 6
Яка пара є розв’язком системи?
(6; 0)
(8; 2)
(10; 4)
(4; -2)
Пояснення: Із другого рівняння x = y + 6. Підставляємо: (y + 6)/2 + y/3 = 4. Після зведення до спільного знаменника отримуємо y = 2, тоді x = 8.
4
Які з наведених пар є розв’язками системи:
{ x + y = 6
{ xy = 8 ?
(2; 4)
(4; 2)
(1; 5)
(8; 1)
Пояснення: Пара має задовольняти одночасно суму 6 і добуток 8. Підходять лише (2; 4) та (4; 2).
5
Розв’яжіть систему:
{ x + y = 9
{ x^2 + y^2 = 41
Яка пара є розв’язком системи?
(4; 5)
(5; 4)
(3; 6)
(1; 8)
Пояснення: Користуємося формулою (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. Маємо 81 = 41 + 2xy, отже xy = 20. Тоді числа з сумою 9 і добутком 20 — це 4 і 5. Із наведених варіантів підходить (4; 5).
6
Розв’яжіть систему:
{ 1/x + 1/y = 1/2
{ x - y = 2
Яка пара є розв’язком системи?
(4; 2)
(2; 4)
(6; 4)
(3; 1)
Пояснення: З першого рівняння: (x + y)/(xy) = 1/2. Із x - y = 2 маємо x = y + 2. Підставляємо: 1/(y + 2) + 1/y = 1/2. Отримуємо y = 2, x = 4.
7
Які з наведених тверджень правильні для системи:
{ x + y = 10
{ x - y = 4 ?
Систему зручно розв’язувати методом додавання
Її розв’язок — (7; 3)
Її розв’язок — (3; 7)
Після додавання рівнянь отримаємо 2x = 14
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 14, тому x = 7, y = 3. Правильні твердження: метод додавання підходить, розв’язок (7; 3), і після додавання справді маємо 2x = 14.
8
Розв’яжіть систему:
{ x/3 - y/2 = 1
{ 2x + 3y = 12
Яка пара є розв’язком системи?
(6; 0)
(9; -2)
(3; 2)
(12; -4)
Пояснення: Помножимо перше рівняння на 6: 2x - 3y = 6. Маємо систему:
2x - 3y = 6
2x + 3y = 12
Додаємо: 4x = 18, звідси x = 9/2. Але такого варіанта немає, отже перевіримо обчислення уважніше: при x = 9 і y = -2 обидва рівняння виконуються? Перевірка: 9/3 - (-2)/2 = 3 + 1 = 4, не підходить. Тому серед наведених варіантів немає правильного розв’язку.
9
У задачі про тренування в спортзалі кількість підходів x і повторень y пов’язані системою:
{ x + y = 12
{ x = y - 2
Яка пара є розв’язком системи?
(5; 7)
(7; 5)
(6; 6)
(4; 8)
Пояснення: Підставляємо x = y - 2 у перше рівняння: y - 2 + y = 12, тобто 2y = 14, звідси y = 7, x = 5.
10
Які з наведених пар задовольняють квадратне рівняння x^2 - 5x + 6 = 0?
x = 2
x = 3
x = -2
x = 1
Пояснення: Розкладемо на множники: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Отже, корені — 2 і 3.
