Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 10 клас: раціональні нерівності. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Раціональні нерівності, Область допустимих значень, Метод інтервалів, Розв’язування дробово-раціональних нерівностей, Аналіз знаків виразів. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка з наведених нерівностей є раціональною?
x^2 - 5x + 6 > 0
(x + 1)/(x - 3) ≤ 2
√(x - 1) > 0
|x - 4| < 7
Пояснення: Раціональна нерівність містить раціональний вираз, тобто дроби з многочленами в чисельнику та знаменнику.
2
Знайдіть область допустимих значень виразу (x + 2)/(x - 5).
x ≠ -2
x ≠ 5
x ≠ 0
x > 5
Пояснення: Знаменник не може дорівнювати нулю, тому x - 5 ≠ 0, звідси x ≠ 5.
3
Розв’яжіть нерівність (x - 1)/(x + 2) > 0.
(-∞; -2) ∪ (1; +∞)
(-2; 1)
(-∞; 1)
(1; +∞)
Пояснення: Дріб додатний, коли чисельник і знаменник мають однакові знаки. Критичні точки: x = -2 і x = 1. Перевірка інтервалів дає розв’язок (-∞; -2) ∪ (1; +∞).
4
Розв’яжіть нерівність (2x + 3)/(x - 4) ≤ 0.
(-∞; -3/2] ∪ (4; +∞)
[-3/2; 4)
(-∞; -3/2) ∪ [4; +∞)
(-3/2; 4]
Пояснення: Нулі чисельника і знаменника: x = -3/2 та x = 4. Для знака ≤ 0 беремо проміжки, де дріб від’ємний або дорівнює нулю, але x = 4 виключається з ОДЗ. Отже, [-3/2; 4).
5
Яка з точок належить розв’язку нерівності (x - 2)/(x + 1) > 0?
x = -2
x = -1
x = 0
x = 2
Пояснення: Розв’язок нерівності: (-∞; -1) ∪ (2; +∞). Із наведених точок лише x = -2 належить цьому розв’язку.
6
Які з наведених значень входять до області допустимих значень виразу (x - 3)/((x + 2)(x - 1))?
x = -2
x = 0
x = 1
x = 5
Пояснення: Знаменник не повинен дорівнювати нулю, тому x ≠ -2 і x ≠ 1. Отже, 0 і 5 входять до ОДЗ, а -2 та 1 — ні.
7
Розв’яжіть нерівність (x^2 - 9)/(x - 3) > 0.
(-∞; -3) ∪ (3; +∞)
(-3; 3)
(-∞; -3] ∪ (3; +∞)
(-∞; 3)
Пояснення: Розкладемо чисельник: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Для x ≠ 3 дріб спрощується до x + 3, але x = 3 виключається з ОДЗ. Тоді x + 3 > 0, тобто x > -3, і ще x ≠ 3. Отже, (-3; 3) ∪ (3; +∞). Але при строгій нерівності потрібно врахувати знак початкового дробу: після скорочення маємо x + 3 > 0, тому правильний розв’язок — (-3; 3) ∪ (3; +∞).
8
Який із наведених кроків є правильним першим кроком під час розв’язування нерівності (x + 4)/(x - 2) < 0 методом інтервалів?
Знайти нулі чисельника і знаменника та позначити їх на числовій прямій
Одразу помножити обидві частини на x - 2
Знайти лише нуль чисельника
Побудувати графік параболи
Пояснення: Для методу інтервалів спочатку знаходять критичні точки: нулі чисельника і знаменника, після чого визначають знаки на проміжках.
9
Які з наведених тверджень правильні для нерівності (x - 5)/(x + 3) ≥ 0?
x = -3 не може входити до розв’язку
x = 5 входить до розв’язку
x = 0 входить до розв’язку
Розв’язок містить проміжок (5; +∞)
Пояснення: Для нерівності (x - 5)/(x + 3) ≥ 0 розв’язок: (-∞; -3) ∪ [5; +∞). Тому x = -3 виключається, x = 5 входить, x = 0 не входить, а проміжок (5; +∞) входить до розв’язку разом із точкою 5.
10
Скільки критичних точок має нерівність (x - 1)(x + 2)/(x - 4) < 0?
1
2
3
4
Пояснення: Критичні точки — це нулі чисельника та знаменника: x = 1, x = -2, x = 4. Усього їх три.
