Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 7 клас: Рівняння та корені рівнянь. 41 завдання з відповідями та поясненнями. Теми: Рівняння та корені рівнянь, Рівносильні рівняння, Текстові задачі за допомогою рівнянь, Вирази зі змінними, Тотожні перетворення виразів, Степінь із натуральним показником, Властивості степеня. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Які з наведених записів є рівняннями?
4x - 3 = 9
5x + 2
7x > 14
12 - 5 = 7
Пояснення: Рівняння — це рівність, у якій є змінна. Тут такою є лише запис 4x - 3 = 9.
2
Чи є число 2 коренем рівняння 3x - 1 = 5?
Так
Ні
Пояснення: Підставляємо x = 2: 3·2 - 1 = 6 - 1 = 5. Рівність виконується, отже 2 — корінь рівняння.
3
Чи є рівносильними рівняння x + 4 = 9 і 2x = 10?
Так, бо обидва мають один і той самий корінь
Ні, бо вони мають різні корені
Пояснення: Перше рівняння має корінь x = 5, друге також має корінь x = 5. Отже, рівняння рівносильні.
4
Розв’яжіть рівняння 7x = 42.
x = 5
x = 6
x = 7
x = 8
Пояснення: Ділимо обидві частини на 7: x = 42 : 7 = 6.
5
Скільки коренів має рівняння 0x = 5?
Жодного
Один
Безліч
Пояснення: Ліва частина 0x завжди дорівнює 0, а 0 не може дорівнювати 5. Тому коренів немає.
6
Розв’яжіть рівняння 4x - 9 = 15.
x = 3
x = 6
x = 5
x = 4
Пояснення: Додаємо 9 до обох частин: 4x = 24. Ділимо на 4: x = 6.
7
Розв’яжіть рівняння 5(x - 2) = 3x + 8.
x = 9
x = 10
x = 11
x = 12
Пояснення: Розкриваємо дужки: 5x - 10 = 3x + 8. Переносимо: 2x = 18. Отже, x = 9.
8
У коробці з олівцями було x штук. Після того як додали 9 олівців, стало стільки, скільки було б, якби початкову кількість зменшили на 3 і подвоїли. Яке число задумали?
x = 9
x = 10
x = 11
x = 12
Пояснення: Складаємо рівняння: x + 9 = 2x - 3. Маємо 12 = x, тобто задумане число дорівнює 12.
9
Запишіть у вигляді виразу: число a, збільшене втричі, а потім зменшене на 7.
3a - 7
a - 7
3(a - 7)
a + 3 - 7
Пояснення: «Збільшене втричі» означає помножене на 3, а потім відняти 7: 3a - 7.
10
Знайдіть значення виразу 3a - 2b, якщо a = -2, b = 4.
-14
-16
16
14
Пояснення: Підставляємо значення: 3·(-2) - 2·4 = -6 - 8 = -14.
11
Спростіть вираз 4(x - 3) + 2x.
6x - 3
6x - 12
4x - 6
2x - 12
Пояснення: Розкриваємо дужки: 4x - 12 + 2x = 6x - 12.
12
Обчисліть значення виразу (-2)^4.
-16
16
8
-8
Пояснення: Чотири рази множимо -2 на себе: (-2)^4 = 16. Парний показник дає додатний результат.
13
Чи є число 2 коренем рівняння x + 4 = 9?
Так
Ні
Пояснення: Підставляємо x = 2: 2 + 4 = 6, а не 9. Отже, число 2 не є коренем рівняння.
14
Чи є рівносильними рівняння x + 2 = 5 і 2x = 8?
Так, бо обидва мають один і той самий корінь
Ні, бо вони мають різні корені
Пояснення: Перше рівняння має корінь x = 3, друге — x = 4. Отже, рівняння не є рівносильними.
15
Визначте кількість коренів рівняння 0x = 0.
Жодного
Один
Безліч
Пояснення: Для будь-якого x маємо 0x = 0, тому рівняння має безліч коренів.
16
Визначте кількість коренів рівняння 3x = 0.
Жодного
Один
Безліч
Пояснення: Із рівняння 3x = 0 маємо x = 0. Отже, корінь один.
17
Розв’яжіть рівняння 7x + 3 = 4x + 24.
x = 5
x = 6
x = 7
x = 8
Пояснення: Переносимо доданки: 7x - 4x = 24 - 3. Маємо 3x = 21, звідси x = 7.
18
У трьох коробках лежать олівці. У першій коробці x олівців, у другій — на 6 більше, ніж у першій, а в третій — удвічі більше, ніж у першій. Усього в коробках 54 олівці. Складіть рівняння та знайдіть кількість олівців у першій коробці.
x = 9
x = 10
x = 12
x = 15
Пояснення: Складаємо рівняння: x + (x + 6) + 2x = 54. Маємо 4x + 6 = 54, звідси 4x = 48, x = 12.
19
Запишіть у вигляді виразу половину суми чисел x і y.
(x + y) / 2
x + y / 2
x / 2 + y
2(x + y)
Пояснення: Половина суми чисел x і y — це (x + y) / 2.
20
Знайдіть значення виразу 2x^2 - 3y, якщо x = -2, y = 1.
5
7
-7
-5
Пояснення: Підставляємо: 2·(-2)^2 - 3·1 = 2·4 - 3 = 8 - 3 = 5.
21
Ширина прямокутника дорівнює x см, а довжина на 4 см більша. Запишіть вираз для обчислення периметра прямокутника та спростіть його.
2x + 4
4x + 8
2x + 8
4x + 4
Пояснення: Довжина дорівнює x + 4. Периметр: 2(x + x + 4) = 2(2x + 4) = 4x + 8.
22
Знайдіть значення виразу 4a - 3b + 2, якщо a = 3, b = -2.
20
14
8
-20
Пояснення: Підставляємо: 4·3 - 3·(-2) + 2 = 12 + 6 + 2 = 20.
23
Визначте, які пари виразів є тотожно рівними: а) 3(x + 2) і 3x + 6; б) 5a - 2a і 3a; в) 2(x - 4) і 2x - 4.
а і б
лише а
лише б
б і в
Пояснення: а) 3(x + 2) = 3x + 6; б) 5a - 2a = 3a. Вираз 2(x - 4) дорівнює 2x - 8, тому в) не є тотожно рівними.
24
Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки: 3(2a - 5) - 4(a + 1).
2a - 19
2a - 11
10a - 19
2a + 19
Пояснення: 3(2a - 5) - 4(a + 1) = 6a - 15 - 4a - 4 = 2a - 19.
25
Розкрийте дужки та спростіть вираз: -(3x - 7) + 2x.
-x + 7
-x + 7
5x - 7
x - 7
Пояснення: Мінус перед дужками змінює знаки: -(3x - 7) + 2x = -3x + 7 + 2x = -x + 7.
26
Доведіть тотожність: 2(x + 4) - 3x = 8 - x.
Так, це тотожність
Ні, це не тотожність
Пояснення: Ліва частина: 2(x + 4) - 3x = 2x + 8 - 3x = 8 - x. Отже, рівність виконується для всіх x.
27
Розкрийте дужки та спростіть вираз: x - (2x - 5).
-x + 5
3x - 5
x + 5
-x - 5
Пояснення: x - (2x - 5) = x - 2x + 5 = -x + 5.
28
Доведіть тотожність: 5(a - 2) + 10 = 5a.
Так, це тотожність
Ні, це не тотожність
Пояснення: 5(a - 2) + 10 = 5a - 10 + 10 = 5a. Отже, рівність правильна для всіх a.
29
Запишіть у вигляді степеня добуток 4 * 4 * 4 * 4. Укажіть основу та показник степеня.
4^4, основа 4, показник 4
4^3, основа 4, показник 3
16^2, основа 16, показник 2
2^8, основа 2, показник 8
Пояснення: Добуток 4 · 4 · 4 · 4 записуємо як 4^4. Основа степеня — 4, показник — 4.
30
Обчисліть значення виразів: а) (-3)^4; б) -3^4.
а) 81; б) -81
а) -81; б) 81
а) 12; б) -12
а) 9; б) -9
Пояснення: (-3)^4 = 81, бо парний степінь від’ємного числа додатний. -3^4 = -(3^4) = -81.
31
Обчисліть: а) 2^5; б) 3^4; в) 10^3.
а) 32; б) 81; в) 1000
а) 16; б) 64; в) 100
а) 64; б) 81; в) 100
а) 32; б) 64; в) 1000
Пояснення: 2^5 = 32, 3^4 = 81, 10^3 = 1000.
32
Обчисліть: а) (-2)^5; б) -2^4.
а) -32; б) -16
а) 32; б) 16
а) -16; б) -16
а) -32; б) 16
Пояснення: (-2)^5 = -32, бо непарний степінь від’ємного числа дає від’ємний результат. -2^4 = -(2^4) = -16.
33
Обчисліть: а) (0,5)^3; б) (1/2)^4.
а) 0,125; б) 1/16
а) 0,25; б) 1/8
а) 0,5; б) 1/4
а) 0,125; б) 1/8
Пояснення: (0,5)^3 = 0,125, а (1/2)^4 = 1/16.
34
Порівняйте числа, поставивши знак >, < або =: а) 2^6 ___ 4^3; б) 3^3 ___ 2^5.
а) =; б) >
а) <; б) >
а) =; б) <
а) >; б) <
Пояснення: 2^6 = 64 і 4^3 = 64, тому вони рівні. 3^3 = 27, а 2^5 = 32, тому 27 < 32.
35
Якою цифрою закінчується число 7^4? Обґрунтуйте відповідь.
1
3
7
1
Пояснення: 7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 закінчується на 3, 7^4 — на 1. Отже, остання цифра 1.
36
Обчисліть значення виразу: 2^3 + 3^2 * 2.
26
22
18
14
Пояснення: Спочатку степені: 2^3 = 8, 3^2 = 9. Далі множення: 9 · 2 = 18. Потім додавання: 8 + 18 = 26.
37
Подайте у вигляді одного степеня: a^4 * a^3.
a^7
a^12
a^1
a^4
Пояснення: Під час множення степенів з однаковою основою показники додають: a^4 * a^3 = a^7.
38
Подайте у вигляді одного степеня: x^9 * x^4, де x не дорівнює 0.
x^13
x^36
x^5
x^9
Пояснення: x^9 * x^4 = x^(9 + 4) = x^13.
39
Подайте у вигляді одного степеня: (b^3)^2.
b^6
b^5
b^9
b^8
Пояснення: Під час піднесення степеня до степеня показники множать: (b^3)^2 = b^(3·2) = b^6.
40
Піднесіть добуток до степеня: (2a)^3.
8a^3
6a^3
2a^3
8a
Пояснення: (2a)^3 = 2^3 · a^3 = 8a^3.
41
Обчисліть, використовуючи властивості степенів: 6^4 : 6^2.
36
12
18
216
Пояснення: При діленні степенів з однаковою основою показники віднімають: 6^4 : 6^2 = 6^(4 - 2) = 6^2 = 36.
