Про цю підготовку
Задача з математики, 9 клас: нерівності та числові проміжки. Покрокові підказки, повне розв’язання й відповідь. Теми: Числові нерівності, подвійні нерівності, нерівності з однією змінною, числові проміжки, системи нерівностей, доведення нерівностей. Тривалість — 55 хв.
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
У завданні 1 використай означення порівняння чисел і правила зміни знака нерівності при множенні на від’ємне число.
Підказка 2
Для периметра прямокутника спочатку знайди формулу P = 2(a + b), а потім обчисли точне значення.
Підказка 3
У нерівності з дужками спочатку розкрий дужки, потім зведи подібні доданки і перенеси змінні в один бік.
Підказка 4
Числовий проміжок записуй через дужки або квадратні дужки залежно від того, чи входить крайня точка до розв’язку.
Підказка 5
Для перетину множин залиш тільки ті числа, які належать обом проміжкам одночасно.
Підказка 6
Систему нерівностей розв’язуй окремо, а потім знайди перетин отриманих розв’язків.
Підказка 7
У доведенні нерівності почни з припущення x > 2 і виконай однакові перетворення з обох частин.
Підказка 8
У задачі про ресурси склади нерівність так, щоб загальні витрати були не більші за 100.
Підказка 9
При множенні нерівності на від’ємне число знак змінюється на протилежний.
Покрокове розв’язання
1) а) 7,2 і 7,20 — це одне й те саме число, тому 7,2 < 7,20 є неправильним. б) -3,5 менше за -3,05, бо на числовій прямій воно лівіше, отже -3,5 > -3,05 — неправильна нерівність. в) Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, знак не змінюється: з a < b маємо a + 4 < b + 4. Це правильне твердження. г) Якщо помножити нерівність a < b на від’ємне число -2, знак змінюється: -2a > -2b. Тому запис -2a < -2b неправильний. 2) Периметр прямокутника зі сторонами 6 см і 9 см: P = 2(6 + 9) = 2 · 15 = 30 см. Оскільки значення точне, можна записати як 30 ≤ P ≤ 30. 3) Розв’яжемо нерівність: 3(2x - 5) - 4 < 2x + 7 6x - 15 - 4 < 2x + 7 6x - 19 < 2x + 7 4x < 26 x < 13/2. Отже, множина розв’язків: x < 13/2. 4) У вигляді проміжку: (-∞; 13/2). Це всі числа, менші за 13/2. 5) Маємо A = (-4; 2], B = [1; 6). а) Перетин — це спільна частина двох проміжків. Ліва межа: 1, бо в A числа мають бути більші за -4, а в B — не менші за 1. Права межа: 2, бо в A числа не більші за 2, а в B — менші за 6. Отже, A ∩ B = [1; 2]. б) Об’єднання — це всі числа, що належать хоча б одному з проміжків. Разом вони покривають усі числа від -4 до 6, не включаючи -4 і 6. Отже, A ∪ B = (-4; 6). 6) Розв’язуємо кожну нерівність окремо: x - 1 > 2 x > 3. Друга: 3x + 1 ≤ 10 3x ≤ 9 x ≤ 3. Тепер шукаємо спільні розв’язки: x > 3 і x ≤ 3 одночасно виконуються лише при x = 3? Ні, бо x > 3 не містить 3. Отже, спільних розв’язків немає. Правильна відповідь — порожня множина ∅. 7) Доведення: нехай x > 2. Помножимо обидві частини на 2 (додатне число), знак не змінюється: 2x > 4. Віднімемо 3 з обох частин: 2x - 3 > 1. Отже, твердження доведено. 8) Нехай x — витрати на підвищення рівня персонажа. Тоді загальні витрати: x + 35. Після витрат має залишитися не менше 20 одиниць, тобто витрати не повинні перевищувати 120 - 20 = 100. Складаємо нерівність: x + 35 ≤ 100 x ≤ 65. Найбільше ціле значення x дорівнює 65. 9) Твердження правильне. Якщо a < b і c < 0, то при множенні нерівності a < b на від’ємне число c знак нерівності змінюється на протилежний: ac > bc. Отже, твердження доведено.
