Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 8 клас: Додавання та віднімання раціональних дробів з різними знаменниками. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Додавання та віднімання раціональних дробів з різними знаменниками, Множення, піднесення в степінь та ділення раціональних дробів, Тотожні перетворення раціональних виразів, Трапеція, Вписані і описані чотирикутники, Теорема Фалеса. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Спростіть вираз: \(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}\).
\(\frac{5x-1}{x^2-1}\)
\(\frac{5x+1}{x^2-1}\)
\(\frac{5}{x^2-1}\)
\(\frac{2x+3}{x^2-1}\)
Пояснення: Зводимо дроби до спільного знаменника \((x-1)(x+1)=x^2-1\): \(\frac{2(x+1)+3(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x+2+3x-3}{x^2-1}=\frac{5x-1}{x^2-1}\).
2
Спростіть вираз: \(\frac{a^2-9}{a^2-3a}\cdot\frac{a}{a+3}\).
\(\frac{a-3}{a}\)
\(\frac{a+3}{a}\)
\(\frac{a-3}{a+3}\)
\(\frac{a}{a-3}\)
1
Пояснення: Розкладемо на множники: \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), \(a^2-3a=a(a-3)\). Після скорочення маємо \(\frac{(a-3)(a+3)}{a(a-3)}\cdot\frac{a}{a+3}=1\). Отже, правильний результат — \(1\).
3
Знайдіть значення виразу \(\left(\frac{x}{3y}\right)^2\cdot\frac{3y^2}{4x^2}\).
1
\(\frac{1}{12}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{4x^2}{9y^2}\)
Пояснення: Піднесемо дріб до квадрата: \(\left(\frac{x}{3y}\right)^2=\frac{x^2}{9y^2}\). Тоді \(\frac{x^2}{9y^2}\cdot\frac{3y^2}{4x^2}=\frac{1}{12}\).
4
Спростіть вираз: \(\frac{x^2-4}{x^2+2x}\div\frac{x-2}{x}\).
\(\frac{x+2}{x+2}\)
\(\frac{x+2}{x}\)
1
\(\frac{x-2}{x+2}\)
Пояснення: Розкладемо: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \(x^2+2x=x(x+2)\). Ділення замінюємо множенням на обернений дріб: \(\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}\cdot\frac{x}{x-2}=1\). Отже, правильний результат — \(1\).
5
Спростіть вираз: \(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\).
\(\frac{4}{x^2-4}\)
\(\frac{2}{x^2-4}\)
\(\frac{4x}{x^2-4}\)
\(\frac{x}{x^2-4}\)
Пояснення: Спільний знаменник — \((x-2)(x+2)=x^2-4\). У чисельнику: \((x+2)-(x-2)=4\). Отже, маємо \(\frac{4}{x^2-4}\).
6
Спростіть вираз: \(\frac{3x}{x^2-1}+\frac{2}{x+1}\).
\(\frac{5x+2}{x^2-1}\)
\(\frac{5x+2}{(x+1)^2}\)
\(\frac{5x+1}{x^2-1}\)
\(\frac{3x+2}{x^2-1}\)
Пояснення: Оскільки \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), то \(\frac{2}{x+1}=\frac{2(x-1)}{x^2-1}\). Додаємо: \(\frac{3x+2x-2}{x^2-1}=\frac{5x-2}{x^2-1}\).
7
У трапеції основи дорівнюють 6 см і 14 см. Знайдіть довжину середньої лінії.
8 см
9 см
10 см
11 см
Пояснення: Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ: \(\frac{6+14}{2}=10\) см.
8
У рівнобедреній трапеції один кут при основі дорівнює 68°. Якою є величина прилеглого до нього кута при бічній стороні?
112°
68°
122°
90°
Пояснення: У трапеції кути, прилеглі до однієї бічної сторони, є суміжними, тому їх сума дорівнює 180°. Отже, \(180°-68°=112°\).
9
Чотирикутник можна вписати в коло, якщо:
сума його протилежних кутів дорівнює 180°
усі його сторони рівні
його діагоналі перпендикулярні
сума всіх кутів дорівнює 360°
Пояснення: Ознака вписаного чотирикутника: сума протилежних кутів дорівнює 180°.
10
Яка умова є ознакою описаного навколо кола чотирикутника?
суми довжин протилежних сторін рівні
усі кути прямі
діагоналі рівні
усі сторони паралельні
Пояснення: Для чотирикутника, описаного навколо кола, виконується рівність: сума довжин протилежних сторін однакова.
11
У трикутнику пряма, паралельна одній із сторін, перетинає дві інші сторони. Якщо на одній стороні утворилися відрізки 3 см і 6 см, а на другій — менший відрізок 4 см, то довжина другого відрізка дорівнює:
6 см
7 см
8 см
9 см
Пояснення: За теоремою Фалеса відповідні відрізки пропорційні. Маємо \(\frac{3}{6}=\frac{4}{x}\), звідси \(x=8\) см.
