Про цю підготовку
Хочу зробити діагностичний тест з математики для учениці Меньших Анастасії, 8 клас, на 55 хвилин, складного рівня. Тест має охопити алгебру й геометрію за темами лінійних рівнянь, степенів, многочленів, формул скороченого множення, функцій, систем рівнянь, а також трикутників, кутів, кола і геометричних побудов. Добре, якщо завдання будуть із цікавими сюжетами про котиків, Гаррі Поттера або Хроніки Нарнії.
Євгенія Голобородько
Автор підготовки
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Котик записав рівняння: 3(x - 2) + 5 = 2x + 11. Яке значення x є коренем цього рівняння?
x = 0
x = 6
x = 8
x = -6
Пояснення: Розкриваємо дужки: 3x - 6 + 5 = 2x + 11, тобто 3x - 1 = 2x + 11. Переносимо змінні вліво, числа вправо: x = 12. Отже, правильна відповідь — x = 12.
2
Котик-математик спростив вираз: 2a(3a - 4) - a(2a - 1). Який вираз він отримав?
4a² - 7a
4a² + 7a
6a² - 9a
8a² - 9a
Пояснення: Розкриваємо дужки: 2a(3a - 4) - a(2a - 1) = 6a² - 8a - 2a² + a = 4a² - 7a.
3
У Нарнії магічний амулет має вигляд 5² · 5³. Чому дорівнює цей вираз?
5⁵
25⁶
5⁶
10⁵
Пояснення: За властивістю степенів при множенні степенів з однаковою основою показники додаються: 5² · 5³ = 5^(2+3) = 5⁵.
4
Які з наведених виразів є одночленами, які котик записав у своєму зошиті?
-3x²y
7a³b
2x + 5
1/2mn²
Пояснення: Одночлен — це добуток числового множника і степенів змінних з натуральними показниками. Вирази -3x²y, 7a³b і 1/2mn² є одночленами; 2x + 5 — це многочлен із двох доданків.
5
У Гаррі Поттера на уроці магії потрібно спростити вираз: (x - 4)(x + 4). Який результат?
x² - 16
x² + 16
x² - 8x + 16
x² + 8x + 16
Пояснення: Це формула різниці квадратів: (a - b)(a + b) = a² - b². Отже, (x - 4)(x + 4) = x² - 16.
6
У Гаррі Поттера є закляття, яке записали як (2x - 3)². Спростіть цей вираз.
4x² - 12x + 9
4x² - 6x + 9
2x² - 12x + 9
4x² + 12x + 9
Пояснення: Користуємося формулою квадрата різниці: (a - b)² = a² - 2ab + b². Маємо (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9.
7
Функцію, яку досліджує котик, задано формулою y = -2x + 3. Яка з наведених точок належить графіку цієї функції?
(0; 3)
(1; 5)
(2; 1)
(-1; -1)
Пояснення: Підставляємо x = 0: y = -2·0 + 3 = 3. Отже, точка (0; 3) належить графіку.
8
Які з наведених тверджень про лінійну функцію y = kx + b котик записав правильно?
Її графік — пряма
Якщо k > 0, то функція зростає
Якщо b = 0, то графік не проходить через початок координат
Якщо k = 0, то функція стала
Пояснення: Лінійна функція задається прямою. За додатного k вона зростає. Якщо k = 0, маємо y = b — сталу функцію. Якщо b = 0, пряма проходить через початок координат, тому твердження c неправильне.
9
У Нарнії герої розв’язують систему рівнянь: { x + y = 7, x - y = 1. Яка пара є розв’язком системи?
(4; 3)
(3; 4)
(5; 2)
(6; 1)
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 8, отже x = 4. Тоді y = 7 - 4 = 3. Розв’язок: (4; 3).
10
У трикутнику, який намалював котик, два кути дорівнюють 48° і 67°. Чому дорівнює третій кут?
65°
55°
75°
85°
Пояснення: Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Отже, третій кут: 180° - 48° - 67° = 65°.
11
У рівнобедреному трикутнику, який досліджує Гаррі Поттер, основа дорівнює 12 см, а бічні сторони — по 10 см. Яке твердження є правильним?
Медіана до основи є також висотою і бісектрисою
Будь-яка сторона цього трикутника може бути основою лише один раз
Кути при основі завжди більші за кут при вершині
Сума двох бічних сторін менша за основу
Пояснення: У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є також висотою і бісектрисою. Це одна з його властивостей.
12
Які з наведених тверджень про коло і дотичну, які вивчав котик, є правильними?
Дотична до кола має з ним лише одну спільну точку
Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній
Дотична перетинає коло у двох точках
Через точку кола можна провести лише одну дотичну
Пояснення: Дотична має з колом одну спільну точку, а радіус у точку дотику перпендикулярний дотичній. Через точку кола можна провести лише одну дотичну. Твердження про дві точки перетину неправильне.
