Про цю підготовку
Хочу підготувати завдання з математики для учня Еріка Йода, 11 клас, на 55 хвилин, середньої складності. Завдання має охопити параграфи «1. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца», «4. Найпростіші диференціальні рівняння», «3. Використання штучних прийомів для обчислення визначених інтегралів», «1. Обчислення площ плоских фігур», «1. Поняття первісної», «2. Правила знаходження первісних (правила інтегрування)», «2. Обчислення об'ємів тіл», «3. Невизначений інтеграл», «3. Застосування визначеного інтеграла у фізиці», «2. Основна властивість первісних», «2. Основні властивості визначеного інтеграла».
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
Спочатку знайдіть первісну для підінтегральної функції, а потім підставте межі інтегрування.
Підказка 2
Якщо в інтегралі є сума, різниця або сталий множник, розбийте його на простіші інтеграли.
Підказка 3
Для площі між графіками спочатку визначте, яка функція лежить вище на проміжку.
Підказка 4
Для об’єму тіла обертання використайте формулу через квадрат радіуса та визначений інтеграл.
Підказка 5
У задачі з фізичним змістом знайдіть потрібну величину як інтеграл від швидкості, сили або іншої заданої функції.
Покрокове розв’язання
1) Знаходимо первісну почленно: \[\int (3x^2-4x+1)\,dx=\int 3x^2\,dx-\int 4x\,dx+\int 1\,dx=x^3-2x^2+x+C.\] 2) Маємо \[\int \left(\frac{2}{x}+\cos x\right)dx=2\ln|x|+\sin x+C.\] Із умови \(F(1)=3\): \[2\ln 1+\sin 0+C=3 \Rightarrow C=3.\] Отже, \[F(x)=2\ln|x|+\sin x+3.\] 3) За формулою Ньютона-Лейбніца: \[ \int_0^2 (x^2+2x)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)_0^2=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}. \] 4) Функція \(f(x)=x^3-x\) непарна, бо \[f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x).\] На симетричному проміжку \([-1,1]\) інтеграл непарної функції дорівнює нулю: \[ \int_{-1}^{1}(x^3-x)\,dx=0. \] 5) Знайдемо точки перетину: \[x^2=2x \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,2.\] На \([0,2]\) маємо \(2x\ge x^2\), тому площа: \[ S=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}. \] 6) Для обертання навколо осі Ox використовуємо формулу: \[ V=\pi\int_a^b y^2\,dx. \] Тут \(y=\sqrt{x}\), \(a=0\), \(b=4\), тому \[ V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left(\frac{x^2}{2}\right)_0^4=8\pi. \] 7) Рівняння \(y'=3x^2\) означає, що шукану функцію отримуємо інтегруванням: \[ y=\int 3x^2\,dx=x^3+C. \] Якщо \(y(1)=5\), то \[1+C=5 \Rightarrow C=4.\] Отже, \(y=x^3+4\). 8) Обчислюємо: \[ \int_1^e \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|\Big|_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=1. \] 9) Використаємо властивість лінійності: \[ \int_0^3 (x^2+1)\,dx=\int_0^3 x^2\,dx+\int_0^3 1\,dx. \] Тоді \[ \int_0^3 x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^3=9,\qquad \int_0^3 1\,dx=3. \] Отже, сума дорівнює \(12\). 10) Шлях при відомій швидкості знаходять інтегралом: \[ s=\int_0^5 2t\,dt=t^2\Big|_0^5=25. \] 11) Первісна для \(\sin x\) — це \(-\cos x\). Тому \[ \int_0^\pi \sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^\pi=-\cos\pi-(-\cos 0)=1-(-1)=2. \] 12) Знаходимо первісну: \[ \int_0^1 (4x-3)\,dx=\left(2x^2-3x\right)_0^1=(2-3)-0=-1. \] Підсумок: 1) \(x^3-2x^2+x+C\); 2) \(2\ln|x|+\sin x+3\); 3) \(\dfrac{20}{3}\); 4) \(0\); 5) \(\dfrac{4}{3}\); 6) \(8\pi\); 7) \(y=x^3+C\), при \(y(1)=5\): \(y=x^3+4\); 8) \(1\); 9) \(12\); 10) \(25\); 11) \(2\); 12) \(-1\).
