Про цю підготовку
Задача з математики, 11 клас: Первісна, невизначений і визначений інтеграл, площі, об’єми, фізичні застосування. Покрокові підказки, повне розв’язання й відповідь. Тривалість — 55 хв.
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
Спочатку знайдіть первісну для підінтегральної функції, а потім підставте межі інтегрування.
Підказка 2
Якщо в інтегралі є сума, різниця або сталий множник, розбийте його на простіші інтеграли.
Підказка 3
Для площі між графіками спочатку визначте, яка функція лежить вище на проміжку.
Підказка 4
Для об’єму тіла обертання використайте формулу через квадрат радіуса та визначений інтеграл.
Підказка 5
У задачі з фізичним змістом знайдіть потрібну величину як інтеграл від швидкості, сили або іншої заданої функції.
Покрокове розв’язання
1) Знаходимо первісну почленно: \[\int (3x^2-4x+1)\,dx=\int 3x^2\,dx-\int 4x\,dx+\int 1\,dx=x^3-2x^2+x+C.\] 2) Маємо \[\int \left(\frac{2}{x}+\cos x\right)dx=2\ln|x|+\sin x+C.\] Із умови \(F(1)=3\): \[2\ln 1+\sin 0+C=3 \Rightarrow C=3.\] Отже, \[F(x)=2\ln|x|+\sin x+3.\] 3) За формулою Ньютона-Лейбніца: \[ \int_0^2 (x^2+2x)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)_0^2=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}. \] 4) Функція \(f(x)=x^3-x\) непарна, бо \[f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x).\] На симетричному проміжку \([-1,1]\) інтеграл непарної функції дорівнює нулю: \[ \int_{-1}^{1}(x^3-x)\,dx=0. \] 5) Знайдемо точки перетину: \[x^2=2x \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,2.\] На \([0,2]\) маємо \(2x\ge x^2\), тому площа: \[ S=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}. \] 6) Для обертання навколо осі Ox використовуємо формулу: \[ V=\pi\int_a^b y^2\,dx. \] Тут \(y=\sqrt{x}\), \(a=0\), \(b=4\), тому \[ V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left(\frac{x^2}{2}\right)_0^4=8\pi. \] 7) Рівняння \(y'=3x^2\) означає, що шукану функцію отримуємо інтегруванням: \[ y=\int 3x^2\,dx=x^3+C. \] Якщо \(y(1)=5\), то \[1+C=5 \Rightarrow C=4.\] Отже, \(y=x^3+4\). 8) Обчислюємо: \[ \int_1^e \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|\Big|_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=1. \] 9) Використаємо властивість лінійності: \[ \int_0^3 (x^2+1)\,dx=\int_0^3 x^2\,dx+\int_0^3 1\,dx. \] Тоді \[ \int_0^3 x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^3=9,\qquad \int_0^3 1\,dx=3. \] Отже, сума дорівнює \(12\). 10) Шлях при відомій швидкості знаходять інтегралом: \[ s=\int_0^5 2t\,dt=t^2\Big|_0^5=25. \] 11) Первісна для \(\sin x\) — це \(-\cos x\). Тому \[ \int_0^\pi \sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^\pi=-\cos\pi-(-\cos 0)=1-(-1)=2. \] 12) Знаходимо первісну: \[ \int_0^1 (4x-3)\,dx=\left(2x^2-3x\right)_0^1=(2-3)-0=-1. \] Підсумок: 1) \(x^3-2x^2+x+C\); 2) \(2\ln|x|+\sin x+3\); 3) \(\dfrac{20}{3}\); 4) \(0\); 5) \(\dfrac{4}{3}\); 6) \(8\pi\); 7) \(y=x^3+C\), при \(y(1)=5\): \(y=x^3+4\); 8) \(1\); 9) \(12\); 10) \(25\); 11) \(2\); 12) \(-1\).
