Про цю підготовку
Хочу зробити діагностичний тест з математики для учня Максима, 10 клас, на 55 хвилин, середньої складності. Тест має охопити параграфи «1. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца» та «2. Основні властивості визначеного інтеграла», «1. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца», «2. Площа поверхні конуса», «4. Об'єм призми», «1. Площа поверхні циліндра» та «2. Основні властивості визначеного інтеграла».
Валерій Матискін
Автор підготовки
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Обчисліть: \(\displaystyle \int_{0}^{2} x\,dx\).
\(1\)
\(2\)
\(4\)
\(\dfrac{1}{2}\)
Пояснення: За формулою Ньютона-Лейбніца: \(\int_0^2 x\,dx = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^2 = 2\).
2
Обчисліть: \(\displaystyle \int_{-1}^{1} 3\,dx\).
\(0\)
\(3\)
\(6\)
\(-3\)
Пояснення: Для сталої функції \(\int_a^b c\,dx = c(b-a)\). Маємо \(3(1-(-1))=6\).
3
Обчисліть: \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx\).
\(0\)
\(1\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(-1\)
Пояснення: Первісна для \(\cos x\) — це \(\sin x\). Тоді \(\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0=1\).
4
Обчисліть: \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x-1)\,dx\).
\(4\)
\(6\)
\(8\)
\(10\)
Пояснення: Первісна: \(x^2-x\). Отже, \((9-3)-(1-1)=6\)? Ні, уважно: \(\left.(x^2-x)\right|_1^3=(9-3)-(1-1)=6\).
5
Яка властивість визначеного інтеграла записана правильно?
\(\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0\)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \int_b^a f(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = f(b)-f(a)\)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b |f(x)|\,dx\)
Пояснення: Якщо межі інтегрування однакові, то визначений інтеграл дорівнює нулю.
6
Обчисліть: \(\displaystyle \int_{2}^{5} 4x^3\,dx\).
\(156\)
\(624\)
\(1248\)
\(312\)
Пояснення: Первісна: \(x^4\). Маємо \(5^4-2^4=625-16=609\).
7
Оберіть усі правильні твердження про визначений інтеграл.
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int_a^b (f(x)+g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int_a^b c\,dx = c(b-a)\)
\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f'(x)\,dx\)
Пояснення: Правильні властивості: зміна меж дає зміну знака, інтеграл лінійний, інтеграл сталої обчислюється через довжину проміжку.
8
Обчисліть: \(\displaystyle \int_{0}^{1} (x^2+2x)\,dx\).
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{5}{3}\)
\(2\)
\(\dfrac{1}{3}\)
Пояснення: Первісна: \(\dfrac{x^3}{3}+x^2\). Отже, \(\left(\dfrac{1}{3}+1\right)-0=\dfrac{4}{3}\).
9
Обчисліть: \(\displaystyle \int_{-2}^{0} x^2\,dx\).
\(\dfrac{8}{3}\)
\(-\dfrac{8}{3}\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(8\)
Пояснення: Первісна: \(\dfrac{x^3}{3}\). Маємо \(0-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{8}{3}\).
10
Оберіть правильні рівності.
\(\displaystyle \int_1^4 2f(x)\,dx = 2\int_1^4 f(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int_1^4 (f(x)-g(x))\,dx = \int_1^4 f(x)\,dx - \int_1^4 g(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx = \int_1^4 f(x)+g(x)\,dx\)
\(\displaystyle \int_1^4 0\,dx = 0\)
Пояснення: Інтеграл лінійний, а інтеграл нульової функції дорівнює нулю.
