Про цю підготовку
Задача з математики, 9 клас: Коло, синус і косинус, теорема косинусів. Покрокові підказки, повне розв’язання й відповідь. Тривалість — 30 хв.
Умова задачі
Підказки для пояснення
Відкривайте підказки поступово — спочатку дайте дитині подумати самостійно.
Підказка 1
Перевір, чи не втрачається випадок x = 0, коли ділять на x. Розклади рівняння на множники.
Підказка 2
Згадай означення: косинус — це перша координата, синус — друга. Для точки на осі Oy одна з координат дорівнює нулю.
Підказка 3
При відбитті відносно осі Oy змінюється лише знак горизонтальної координати. Подумай, який кут відповідає новій точці на одиничному колі.
Підказка 4
Скористайся теоремою косинусів для сторін 5 і 8 та кута 60° між ними. Після обчислення перевір, чи результат узгоджується з нерівністю трикутника.
Підказка 5
Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони. Запиши теорему косинусів для кута, що лежить навпроти сторони 7 см.
Підказка 6
Познач меншу сторону як x, тоді інша дорівнює x + 2. Підстав у теорему косинусів для кута 120° і розв’яжи квадратне рівняння, а потім відкинь непридатний корінь.
Покрокове розв’язання
1) Маємо рівняння x² = 5x. Перенесемо все в одну сторону: x² - 5x = 0. Винесемо x за дужки: x(x - 5) = 0. Тоді x = 0 або x - 5 = 0, звідси x = 5. Помилка бота в тому, що він поділив на x, а при x = 0 ділити не можна, тому цей корінь було втрачено. Перевірка: 0² = 5·0, тобто 0 = 0; 5² = 5·5, тобто 25 = 25. 2) На одиничному колі точка для 90° має координати (0; 1). За означенням косинус — це горизонтальна координата, а синус — вертикальна. Отже, cos 90° = 0, sin 90° = 1. На рисунку це точка на верхівці одиничного кола на осі Oy. 3) Для 60° маємо точку (1/2; √3/2). При відбитті відносно осі Oy горизонтальна координата змінює знак, а вертикальна лишається тією самою. Тому нова точка: (-1/2; √3/2). Вона відповідає куту 120°, бо це симетричний до 60° кут у другій чверті. Отже, cos 120° = -1/2, sin 120° = √3/2. 4) Два дрони стартували з однієї точки, а кут між напрямками дорівнює 60°. Отже, маємо трикутник зі сторонами 5 км і 8 км та кутом між ними 60°. Шукаємо третю сторону c за теоремою косинусів: c² = 5² + 8² - 2·5·8·cos 60° c² = 25 + 64 - 80·1/2 = 89 - 40 = 49. Тоді c = 7 км. Це правильний результат, бо 3 < 7 < 13. 5) Найбільша сторона в трикутнику — 7 см, отже найбільший кут лежить навпроти неї. Застосуємо теорему косинусів для цього кута γ: cos γ = (3² + 5² - 7²) / (2·3·5) = (9 + 25 - 49) / 30 = -15/30 = -1/2. Тоді γ = 120°. Саме цей кут є найбільшим, бо він лежить навпроти найбільшої сторони. 6) Нехай менша сторона дорівнює x, тоді більша — x + 2. Кут між ними 120°, а третя сторона дорівнює 7 см. За теоремою косинусів: 7² = x² + (x + 2)² - 2x(x + 2)·cos 120°. Оскільки cos 120° = -1/2, маємо: 49 = x² + (x + 2)² + x(x + 2). Розкриємо дужки: 49 = x² + x² + 4x + 4 + x² + 2x = 3x² + 6x + 4. Отже, 3x² + 6x - 45 = 0, поділимо на 3: x² + 2x - 15 = 0. Розкладемо на множники: (x + 5)(x - 3) = 0. Тоді x = 3 або x = -5. Від’ємний корінь не підходить, бо довжина сторони не може бути від’ємною. Отже, сторони трикутника: 3 см і 5 см.
