Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 10 клас: властивості арифметичного кореня n-го степеня. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Арифметичний корінь n-го степеня, Властивості арифметичного кореня, Перетворення виразів з коренями, Обчислення та спрощення коренів, Порівняння виразів із коренями. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке з наведених тверджень є правильною властивістю арифметичного кореня n-го степеня для парного n і додатного a?
\(\sqrt[n]{a^n}=a\) для будь-якого дійсного a
\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\)
\(\sqrt[n]{a^n}=-a\)
\(\sqrt[n]{a^n}=a^2\)
Пояснення: Для парного n арифметичний корінь завжди невід’ємний, тому \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\).
2
Обчисліть: \(\sqrt[3]{27}\).
3
9
\(-3\)
\(\sqrt{9}\)
Пояснення: Оскільки \(3^3=27\), то \(\sqrt[3]{27}=3\).
3
Спростіть вираз: \(\sqrt[4]{16x^4}\), якщо \(x\in\mathbb{R}\).
\(2x\)
\(4x\)
\(2|x|\)
\(|4x|\)
Пояснення: \(\sqrt[4]{16x^4}=\sqrt[4]{2^4\cdot x^4}=2|x|\), бо корінь парного степеня не може бути від’ємним.
4
Які з наведених рівностей є правильними?
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) для \(a\ge 0, b\ge 0\)
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) для \(a\ge 0, b>0\)
\(\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{a^n}=a\) для будь-якого дійсного a і парного n
Пояснення: Правильними є властивості добутку та частки за умови існування коренів. Сума під коренем не розкладається на суму коренів.
5
Яке значення має вираз \(\sqrt[5]{-32}\)?
\(-2\)
2
\(-\sqrt[5]{32}\)
Не існує
Пояснення: Для непарного n корінь із від’ємного числа існує: \((-2)^5=-32\), отже \(\sqrt[5]{-32}=-2\).
6
Спростіть вираз: \(\sqrt[3]{8a^3}\), якщо \(a\in\mathbb{R}\).
\(2a\)
\(2|a|\)
\(a^2\)
\(8a\)
Пояснення: Для непарного кореня \(\sqrt[3]{a^3}=a\), тому \(\sqrt[3]{8a^3}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{a^3}=2a\).
7
Виберіть вирази, які дорівнюють \(\sqrt[4]{81}\).
3
\(\sqrt{9}\)
\(\sqrt[4]{3^4}\)
\(-3\)
Пояснення: \(\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3\), а також \(\sqrt{9}=3\). Для арифметичного кореня значення не може бути від’ємним.
8
Порівняйте числа: \(\sqrt[3]{7}\) і \(\sqrt[3]{8}\).
\(\sqrt[3]{7}>\sqrt[3]{8}\)
\(\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{8}\)
\(\sqrt[3]{7}<\sqrt[3]{8}\)
Порівняти неможливо
Пояснення: Функція \(\sqrt[3]{x}\) зростає, тому з \(7<8\) випливає \(\sqrt[3]{7}<\sqrt[3]{8}\).
9
Спростіть вираз: \(\sqrt[6]{64x^6}\), якщо \(x\in\mathbb{R}\).
\(2x\)
\(2|x|\)
\(4x\)
\(|2x|\)
Пояснення: \(64=2^6\), тому \(\sqrt[6]{64x^6}=\sqrt[6]{2^6}\cdot\sqrt[6]{x^6}=2|x|\).
10
Які з наведених перетворень є коректними?
\(\sqrt[3]{a^3b^3}=ab\) для будь-яких дійсних a і b
\(\sqrt[4]{a^4}=a\) для будь-якого дійсного a
\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)
\(\sqrt[2]{a^2}=|a|\)
Пояснення: Для непарного кореня знак можна винести, а для парного кореня з квадрату отримуємо модуль. Рівність \(\sqrt[4]{a^4}=a\) не завжди вірна через невід’ємність арифметичного кореня.
