Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 8 клас: дробово-раціональні вирази. 12 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Область визначення дробово-раціонального виразу, Скорочення раціональних дробів, Додавання і віднімання раціональних дробів, Множення і ділення раціональних дробів, Тотожні перетворення дробово-раціональних виразів, Доведення тотожності дробово-раціональних виразів, Розв'язання дробово-раціональних рівнянь, Текстові задачі на дробово-раціональні рівняння. Тривалість — 35 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Знайдіть область визначення виразу \(\frac{2x+1}{x^2-9}\).
Усі дійсні числа, крім \(x=3\) і \(x=-3\)
Усі дійсні числа, крім \(x=9\)
Усі дійсні числа, крім \(x=0\)
Усі дійсні числа
Пояснення: Знаменник не може дорівнювати нулю: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0\), тому \(x\neq 3\) і \(x\neq -3\).
2
Скоротіть дріб \(\frac{x^2-4}{x^2-2x}\).
\(\frac{x+2}{x}\)
\(\frac{x-2}{x}\)
\(\frac{x+2}{x-2}\)
\(\frac{x-2}{x+2}\)
Пояснення: Розкладемо на множники: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \(x^2-2x=x(x-2)\). Скорочуємо \((x-2)\), маємо \(\frac{x+2}{x}\).
3
Обчисліть: \(\frac{1}{x}+\frac{2}{3x}\).
\(\frac{3}{3x}\)
\(\frac{5}{3x}\)
\(\frac{2}{x}\)
\(\frac{1}{3x}\)
Пояснення: Спільний знаменник — \(3x\). Маємо \(\frac{1}{x}=\frac{3}{3x}\), тому \(\frac{3}{3x}+\frac{2}{3x}=\frac{5}{3x}\).
4
Обчисліть: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{3b}{2c}\).
\(\frac{3a}{2c}\)
\(\frac{3ab}{2c}\)
\(\frac{a}{2bc}\)
\(\frac{3b}{2ac}\)
Пояснення: Перемножуємо чисельники і знаменники: \(\frac{a\cdot 3b}{b\cdot 2c}\). Скорочуємо \(b\), отримуємо \(\frac{3a}{2c}\).
5
Спростіть вираз \(\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}\).
\(\frac{x-1}{x+1}\)
\(\frac{x+1}{x-1}\)
\(\frac{x^2-1}{x+1}\)
\(\frac{x-1}{x-1}\)
Пояснення: Розкладемо: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), \(x^2+2x+1=(x+1)^2\). Скорочуємо один множник \(x+1\), маємо \(\frac{x-1}{x+1}\).
6
Яке перетворення є тотожним для виразу \(\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}\)?
\(\frac{x-2}{x(x+1)}\)
\(\frac{x+2}{x(x+1)}\)
\(\frac{x+2}{x(x-1)}\)
\(\frac{x+2}{x+1}\)
Пояснення: Спільний знаменник \(x(x+1)\): \(\frac{2(x+1)}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+2-x}{x(x+1)}=\frac{x+2}{x(x+1)}\).
7
Доведіть тотожність: \(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=1\). Який крок є правильним?
Об'єднати дроби: \(\frac{x-1}{x-1}=1\), якщо \(x\neq 1\)
Скоротити \(x-1\) у першому дробі без обмежень
Замінити \(x\) на 1
Додати знаменники: \(\frac{x-1}{2x-2}\)
Пояснення: Маємо спільний знаменник \(x-1\): \(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\), але лише за умови \(x\neq 1\).
8
Розв'яжіть рівняння \(\frac{3}{x}=\frac{1}{2}\).
\(x=6\)
\(x=\frac{2}{3}\)
\(x=3\)
\(x=-6\)
Пояснення: Перемножимо навхрест: \(3\cdot 2=x\cdot 1\), отже \(x=6\).
9
Розв'яжіть рівняння \(\frac{x+1}{x-2}=3\).
\(x=\frac{7}{2}\)
\(x=2\)
\(x=7\)
\(x=-7\)
Пояснення: ОДЗ: \(x\neq 2\). Маємо \(x+1=3(x-2)\), тобто \(x+1=3x-6\), звідси \(7=2x\), \(x=\frac{7}{2}\).
10
У спортивній секції час на підготовку до виступу описують формулою \(t=\frac{12}{x}\), де \(x\) — кількість однакових груп. Якщо час підготовки становить 3 години, скільки груп було створено?
2
3
4
6
Пояснення: Складаємо рівняння \(\frac{12}{x}=3\). Тоді \(12=3x\), отже \(x=4\).
11
Які з наведених значень НЕ належать області визначення виразу \(\frac{5}{x(x-4)}\)?
0; -4
0; 4
4
-4
Пояснення: Знаменник дорівнює нулю при \(x=0\) або \(x=4\). Саме ці значення не належать області визначення.
12
Які перетворення є правильними для дробу \(\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\)?
\(\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}\)
\(\frac{x+3}{x-3}\)
\(\frac{x-3}{x+3}\)
\(\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}=1\)
Пояснення: Розклад: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). Після скорочення одного множника \(x-3\) отримуємо \(\frac{x+3}{x-3}\), за умови \(x\neq 3\).
