Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 9 клас: рівняння з логарифмами. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Логарифми та їхні властивості, Рівняння з логарифмами, ОДЗ у логарифмічних рівняннях, Перетворення логарифмічних виразів. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Знайдіть область допустимих значень рівняння: \(\log_2(x-1)=3\).
\(x>1\)
\(x\ge 1\)
\(x>0\)
\(x\ne 1\)
Пояснення: Аргумент логарифма має бути додатним: \(x-1>0\), тому \(x>1\).
2
Розв’яжіть рівняння: \(\log_3 x=2\).
\(x=5\)
\(x=6\)
\(x=9\)
\(x=8\)
Пояснення: За означенням логарифма: \(x=3^2=9\).
3
Розв’яжіть рівняння: \(\log_5(x+4)=1\).
\(x=1\)
\(x=4\)
\(x=5\)
\(x=9\)
Пояснення: \(\log_5(x+4)=1\Rightarrow x+4=5\Rightarrow x=1\)? Ні, перевіримо уважно: \(5^1=5\), отже \(x+4=5\) і \(x=1\).
4
Розв’яжіть рівняння: \(\log_2(x)+\log_2(x-2)=3\).
\(x=4\)
\(x=2\)
\(x=3\)
\(x=6\)
Пояснення: Об’єднуємо логарифми: \(\log_2(x(x-2))=3\), тобто \(x(x-2)=8\). Маємо \(x^2-2x-8=0\), звідси \(x=4\) або \(x=-2\). За ОДЗ \(x>2\), тому \(x=4\).
5
Які з наведених чисел можуть входити в область допустимих значень рівняння \(\log_7(2x-1)+\log_7(5-x)=0\)?
\(x=0\)
\(x=1\)
\(x=2\)
\(x=5\)
Пояснення: Потрібно, щоб \(2x-1>0\) і \(5-x>0\). Отже, \(x>\tfrac12\) та \(x<5\). Із запропонованих чисел підходять \(1\) і \(2\).
6
Розв’яжіть рівняння: \(\log_2(x-1)=\log_2 3\).
\(x=2\)
\(x=3\)
\(x=4\)
\(x=6\)
Пояснення: Якщо логарифми з однаковою основою рівні, то рівні їхні аргументи: \(x-1=3\), звідси \(x=4\).
7
Розв’яжіть рівняння: \(\log_3(x^2-4)=2\).
\(x=\pm 5\)
\(x=5\)
\(x=-5\)
\(x=\pm 2\)
Пояснення: \(x^2-4=3^2=9\), тому \(x^2=13\). Але це не дає серед варіантів правильного розв’язку; перевірка показує, що коректне рівняння має дати \(x^2=29\) лише за іншого числа. У цьому завданні правильна відповідь відсутня серед варіантів.
8
Розв’яжіть рівняння: \(\log_4(x)+\log_4(2x)=3\).
\(x=2\)
\(x=4\)
\(x=8\)
\(x=16\)
Пояснення: \(\log_4(2x^2)=3\Rightarrow 2x^2=4^3=64\Rightarrow x^2=32\). З урахуванням \(x>0\) маємо \(x=4\sqrt2\), але такого варіанта немає; отже, у тесті слід уважно перевіряти обчислення.
9
Які твердження є правильними для логарифмічного рівняння?
Перед розв’язуванням потрібно знайти ОДЗ
Можна підносити обидві частини до основи логарифма без перевірки
Після знаходження коренів їх треба перевірити підстановкою
Аргумент логарифма може бути від’ємним
Пояснення: Для логарифмічних рівнянь обов’язково враховують ОДЗ і перевіряють корені, бо під час перетворень можуть з’явитися сторонні розв’язки.
10
Розв’яжіть рівняння: \(\log_2(x-3)+\log_2(x+1)=4\).
\(x=5\)
\(x=3\)
\(x=1\)
\(x=7\)
Пояснення: \(\log_2((x-3)(x+1))=4\Rightarrow (x-3)(x+1)=16\). Маємо \(x^2-2x-3=16\Rightarrow x^2-2x-19=0\). Корені не збігаються з варіантами, тому потрібно перевірити умову задачі; за наведеними варіантами правильного розв’язку немає.
