Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 9 клас: дії над логарифмами. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Властивості логарифмів, Перетворення логарифмічних виразів, Обчислення логарифмів, Рівняння з логарифмами, Область допустимих значень. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Обчисліть: \(\log_2 8\).
2
3
4
8
Пояснення: Оскільки \(2^3=8\), то \(\log_2 8=3\).
2
Спростіть вираз: \(\log_3 27 + \log_3 \frac{1}{9}\).
0
1
-1
3
Пояснення: \(\log_3 27=3\), а \(\log_3 \frac{1}{9}=\log_3 3^{-2}=-2\). Сума дорівнює \(1\)? Ні, перевіримо: \(3+(-2)=1\). Отже, правильна відповідь — \(1\).
3
Яка з рівностей є правильною?
\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)
\(\log_a(xy)=\log_a x\cdot \log_a y\)
\(\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y\)
\(\log_a\frac{x}{y}=\log_a x+\log_a y\)
Пояснення: Добуток під логарифмом розкладається в суму логарифмів: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\).
4
Спростіть вираз: \(\log_5 125 - \log_5 5\).
1
2
3
4
Пояснення: \(\log_5 125=3\), \(\log_5 5=1\), тому \(3-1=2\).
5
Виберіть усі вирази, які дорівнюють \(\log_2 16\).
\(\log_2 8 + \log_2 2\)
\(\log_2 32 - \log_2 2\)
\(2\log_2 4\)
\(\log_2 4 + \log_2 4\)
\(\log_2 8 - \log_2 4\)
Пояснення: \(\log_2 16=4\). Перевіряємо: у варіантах a, b, c, d значення дорівнює 4. У варіанті e маємо \(3-2=1\).
6
Спростіть вираз: \(\log_7 49 + \log_7 \frac{1}{7}\).
0
1
2
-1
Пояснення: \(\log_7 49=2\), \(\log_7 \frac{1}{7}=-1\), отже \(2+(-1)=1\)? Ні, уважно: \(49=7^2\), тому \(\log_7 49=2\), а \(\frac{1}{7}=7^{-1}\), тому \(-1\). Сума дорівнює \(1\).
7
Знайдіть область допустимих значень виразу \(\log_2(x-3)\).
\(x>3\)
\(x\ge 3\)
\(x<3\)
\(x\ne 3\)
Пояснення: Аргумент логарифма має бути додатним: \(x-3>0\), звідси \(x>3\).
8
Розв’яжіть рівняння: \(\log_3(x)=2\).
\(x=5\)
\(x=6\)
\(x=9\)
\(x=8\)
Пояснення: За означенням логарифма: \(\log_3 x=2\iff x=3^2=9\).
9
Виберіть правильні перетворення виразу \(\log_a\frac{x^2}{y}\) за умови \(a>0, a\ne 1, x>0, y>0\).
\(2\log_a x-\log_a y\)
\(\log_a x^2-\log_a y\)
\(\log_a x+\log_a x-\log_a y\)
\(\log_a x^2+\log_a y\)
\(\log_a\frac{x}{y^2}\)
Пояснення: Використовуємо властивості степеня та частки: \(\log_a\frac{x^2}{y}=\log_a x^2-\log_a y=2\log_a x-\log_a y\).
10
Спростіть вираз: \(\log_4 2 + \log_4 8\).
2
\(\frac{3}{2}\)
\(\frac{5}{2}\)
3
Пояснення: \(\log_4 2=\frac{1}{2}\), бо \(4^{1/2}=2\). \(\log_4 8=\log_4(2^3)=\frac{3}{2}\). Сума: \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\)? Перевіримо: \(\log_4 8=\frac{3}{2}\), отже сума дорівнює \(2\).
11
Яке значення має вираз \(\log_{10} 1000 - \log_{10} 10\)?
1
2
3
4
Пояснення: \(\log_{10}1000=3\), \(\log_{10}10=1\), тому різниця дорівнює \(2\).
