Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 9 клас: системи рівнянь з дробами та двома змінними. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Системи лінійних рівнянь з двома змінними, Рівняння з дробами, Метод підстановки, Метод додавання, Перевірка розв’язку системи, Текстові задачі на складання системи рівнянь. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка пара чисел є розв’язком системи { x + y = 5 { x - y = 1 ?
(3; 2)
(2; 3)
(4; 1)
(1; 4)
Пояснення: Додаємо рівняння: 2x = 6, звідси x = 3. Підставляємо: 3 + y = 5, тому y = 2.
2
Розв’яжіть систему: { x + y = 7 { x - y = 3
(5; 2)
(2; 5)
(4; 3)
(6; 1)
Пояснення: Складаємо рівняння: 2x = 10, отже x = 5. Тоді y = 7 - 5 = 2.
3
Розв’яжіть систему з дробами: { x/2 + y/3 = 4 { x/2 - y/3 = 2
(6; 3)
(4; 6)
(8; 2)
(3; 6)
Пояснення: Додаємо рівняння: x = 6. Підставляємо: 6/2 + y/3 = 4, тобто 3 + y/3 = 4, звідси y/3 = 1 і y = 3.
4
Яке значення x задовольняє систему? { 2x + y = 11 { 2x - y = 1
3
4
5
6
Пояснення: Додаємо рівняння: 4x = 12, тому x = 3.
5
Розв’яжіть систему методом підстановки: { y = x - 1 { x + 2y = 11
(13/3; 10/3)
(3; 2)
(4; 3)
(5; 4)
Пояснення: Підставляємо y = x - 1 у друге рівняння: x + 2(x - 1) = 11. Маємо 3x - 2 = 11, отже 3x = 13 і x = 13/3. Тоді y = 13/3 - 1 = 10/3.
6
Які з наведених пар чисел є розв’язками системи { x + y = 6 { 2x - y = 0 ?
(2; 4)
(3; 3)
(4; 2)
(1; 5)
Пояснення: Із другого рівняння маємо y = 2x. Підставляємо в перше: x + 2x = 6, тому x = 2, y = 4. Перевірка показує, що також підходить (4; 2) лише якщо друге рівняння було б y = x/2, але тут воно не підходить. Отже правильна лише пара (2; 4).
7
Скільки розв’язків має система { x + y = 4 { 2x + 2y = 8 ?
Безліч розв’язків
Один розв’язок
Жодного розв’язку
Два розв’язки
Пояснення: Друге рівняння є кратним першому, тому обидва описують одну й ту саму пряму. Система має безліч розв’язків.
8
У майстерні для рукоділля купили 3 мотки ниток і 2 набори бісеру за 46 грн. Один моток ниток і 4 набори бісеру коштують 38 грн. Яка система відповідає умові, якщо x — ціна мотка ниток, y — ціна набору бісеру?
3x + 2y = 46, x + 4y = 38
2x + 3y = 46, 4x + y = 38
3x + 2y = 38, x + 4y = 46
x + y = 46, 3x + 2y = 38
Пояснення: За умовою 3 мотки ниток і 2 набори бісеру коштують 46 грн, а 1 моток ниток і 4 набори бісеру — 38 грн. Отже саме така система і є правильною.
9
Розв’яжіть систему: { x/4 + y/2 = 5 { x/4 - y/2 = 1
(12; 4)
(8; 6)
(10; 5)
(16; 2)
Пояснення: Додаємо рівняння: x/2 = 6, отже x = 12. Підставляємо: 12/4 + y/2 = 5, тобто 3 + y/2 = 5, звідси y = 4.
10
Які кроки є правильними під час розв’язування системи з дробами? { x/3 + y/2 = 7 { x/3 - y/2 = 1
Помножити обидва рівняння на 6, щоб позбутися знаменників
Додати рівняння, щоб знайти x
Відняти друге рівняння від першого, щоб знайти y
Одразу записати відповідь без обчислень
Пояснення: Для систем із дробами зручно спочатку позбутися знаменників, а потім застосувати додавання або віднімання рівнянь. У цій системі додавання дає x, а віднімання — y.
