Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 9 клас: скалярний добуток векторів і косинус кута між ними. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Скалярний добуток векторів, Косинус кута між векторами, Обчислення координатами, Властивості скалярного добутку, Знаходження кута між векторами. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Знайдіть скалярний добуток векторів a = (2; 3) і b = (4; -1).
5
11
-5
7
Пояснення: Скалярний добуток: 2·4 + 3·(-1) = 8 - 3 = 5.
2
Яка формула правильно задає скалярний добуток векторів a і b через їх довжини та кут між ними?
a · b = |a| + |b|
a · b = |a| |b| cos α
a · b = |a| / |b|
a · b = |a| |b| sin α
Пояснення: Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.
3
Обчисліть |a|, якщо a = (3; 4).
5
7
1
25
Пояснення: Довжина вектора: |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
4
Знайдіть косинус кута між векторами a = (1; 2) і b = (2; 1).
1/2
2/5
-2/5
5/2
Пояснення: a · b = 1·2 + 2·1 = 4, |a| = √5, |b| = √5, тому cos α = 4 / (√5·√5) = 4/5.
5
Яке значення скалярного добутку двох перпендикулярних векторів?
1
Залежить від довжин векторів
0
-1
Пояснення: Якщо вектори перпендикулярні, то кут між ними 90°, а cos 90° = 0, отже скалярний добуток дорівнює 0.
6
Знайдіть кут між векторами a і b, якщо a · b = 0, |a| = 3, |b| = 5.
0°
45°
90°
180°
Пояснення: За формулою a · b = |a| |b| cos α маємо 0 = 3·5·cos α, отже cos α = 0 і α = 90°.
7
Які з наведених тверджень є правильними?
a · b = b · a
a · a = |a|²
Якщо a · b = 0, то вектори завжди паралельні
a · b = |a| |b| cos α
Пояснення: Правильні властивості: комутативність, формула через довжини та кут, а також a · a = |a|². Нульовий добуток означає перпендикулярність, а не паралельність.
8
Знайдіть скалярний добуток векторів a = (5; -2) і b = (1; 3).
-1
11
7
-11
Пояснення: 5·1 + (-2)·3 = 5 - 6 = -1.
9
Обчисліть cos α, якщо a · b = 6, |a| = 2, |b| = 3.
1
1/2
3
0
Пояснення: cos α = (a · b) / (|a| |b|) = 6 / (2·3) = 1.
10
Знайдіть кут між векторами a = (1; 0) і b = (-1; 0).
0°
90°
180°
45°
Пояснення: Вектори напрямлені в протилежні боки, тому кут між ними 180°. Також cos α = -1.
11
Для яких пар векторів скалярний добуток буде від’ємним?
Якщо кут між векторами гострий
Якщо кут між векторами тупий
Якщо вектори перпендикулярні
Якщо cos α < 0
Пояснення: Скалярний добуток від’ємний тоді й лише тоді, коли cos α < 0, тобто кут між векторами тупий.
