Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 9 клас: Алгебраїчні дроби та їх скорочення. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Алгебраїчні дроби та їх скорочення, Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені, Квадратні рівняння (теорема Вієта та дискримінант), Властивості степеня з цілим від'ємним показником, Чотирикутники (паралелограм, ромб, трапеція — їх властивості та площі), Теорема Піфагора та подібність трикутників. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Скоротіть дріб: **(x² - 9) / (x - 3)**, де x ≠ 3.
x - 3
x + 3
x² + 3
x - 9
Пояснення: Розкладемо чисельник: x² - 9 = (x - 3)(x + 3). Після скорочення на (x - 3) маємо x + 3.
2
Спростіть вираз: **√50 - √8**.
3√2
7√2
√42
2√2
Пояснення: √50 = √(25·2) = 5√2, а √8 = √(4·2) = 2√2. Тоді 5√2 - 2√2 = 3√2.
3
Знайдіть корені рівняння **x² - 5x + 6 = 0**.
x = 1 і x = 6
x = 2 і x = 3
x = -2 і x = -3
x = 0 і x = 5
Пояснення: Підбираємо числа, добуток яких 6, а сума 5: це 2 і 3. Отже, x = 2 і x = 3.
4
Обчисліть: **(2⁻³) · (2⁵)**.
2²
2⁸
2⁻⁸
2⁻²
Пояснення: При множенні степенів з однаковою основою показники додаємо: -3 + 5 = 2. Отже, маємо 2².
5
Яка властивість **паралелограма** є правильною?
Усі сторони рівні
Протилежні сторони паралельні та рівні
Діагоналі завжди перпендикулярні
Сума всіх кутів дорівнює 180°
Пояснення: У паралелограмі протилежні сторони попарно паралельні та рівні, а сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°.
6
Знайдіть площу **ромба** з діагоналями 10 см і 12 см.
22 см²
60 см²
120 см²
30 см²
Пояснення: Площа ромба обчислюється за формулою S = (d₁·d₂)/2. Маємо S = (10·12)/2 = 60 см². Правильна відповідь: 60 см².
7
Розв’яжіть рівняння за теоремою Вієта: **x² + 7x + 10 = 0**.
x = -5 і x = -2
x = 5 і x = 2
x = -10 і x = 1
x = 0 і x = -7
Пояснення: За теоремою Вієта: x₁ + x₂ = -7, x₁x₂ = 10. Підійдуть числа -5 і -2.
8
Спростіть вираз: **(a⁻²b³) / (ab⁻¹)**.
a⁻¹b²
a⁻³b⁴
a²b²
ab⁻⁴
Пояснення: Ділимо степені з однаковою основою: a⁻² / a¹ = a⁻³, а b³ / b⁻¹ = b⁴. Отже, маємо a⁻³b⁴. Але уважно: у чисельнику a⁻², у знаменнику a, тому показник для a дорівнює -2 - 1 = -3. Правильний результат: a⁻³b⁴.
9
У прямокутному трикутнику один катет дорівнює 6 см, а гіпотенуза — 10 см. Знайдіть другий катет.
4 см
8 см
16 см
12 см
Пояснення: За теоремою Піфагора: x² + 6² = 10². Тоді x² = 100 - 36 = 64, звідси x = 8 см. Правильна відповідь: 8 см.
10
Два трикутники подібні. У першого трикутника сторона 5 см, а у другого відповідна сторона 15 см. У першого трикутника площа дорівнює 12 см². Знайдіть площу другого трикутника.
24 см²
36 см²
108 см²
180 см²
Пояснення: Коефіцієнт подібності k = 15/5 = 3. Площі подібних фігур відносяться як k² = 9. Тому площа другого трикутника: 12·9 = 108 см².
