Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 9 клас: чотирикутники, подібність і прямокутні трикутники. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Чотирикутники, Вписані й описані чотирикутники, Подібність трикутників, Розв’язування прямокутних трикутників, Площа многокутника. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
У паралелограмі один кут дорівнює 68°. Яка з наведених величин обов’язково дорівнює 112°?
Сусідній кут паралелограма
Протилежний кут паралелограма
Кут між діагоналями
Кут між стороною і діагоналлю
Пояснення: У паралелограмі сусідні кути є внутрішніми односторонніми, тобто їх сума дорівнює 180°. Отже, другий кут: 180° − 68° = 112°.
2
У ромбі діагоналі дорівнюють 10 см і 24 см. Знайдіть сторону ромба.
13 см
12 см
14 см
15 см
Пояснення: Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Половини діагоналей: 5 см і 12 см. Сторона ромба є гіпотенузою прямокутного трикутника: √(5² + 12²) = √169 = 13 см.
3
Чотирикутник вписано в коло. Два його протилежні кути дорівнюють 4x + 20° і 2x + 40°. Знайдіть x.
20
15
10
25
Пояснення: У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°. Маємо: (4x + 20) + (2x + 40) = 180. Звідси 6x + 60 = 180, 6x = 120, x = 20.
4
У трикутнику бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки 6 см і 9 см. Якщо дві сторони, між якими проведено бісектрису, дорівнюють 8 см і 12 см, то яке твердження правильне?
Бісектриса проведена правильно, бо 8:12 = 6:9
Бісектриса проведена неправильно, бо 8:12 ≠ 6:9
Це можливо лише для рівнобедреного трикутника
Відрізки на стороні мають бути рівними
Пояснення: За теоремою про бісектрису, вона ділить протилежну сторону у відношенні прилеглих сторін: 8:12 = 2:3, а 6:9 = 2:3. Відношення збігаються.
5
У трикутнику ABC точка D лежить на AB, точка E лежить на AC, і DE ∥ BC. Якщо AD = 4 см, DB = 6 см, AE = 5 см, то знайдіть EC.
7,5 см
6 см
8 см
10 см
Пояснення: За теоремою Фалеса, якщо DE ∥ BC, то AD/DB = AE/EC. Маємо 4/6 = 5/EC. Звідси 4EC = 30, EC = 7,5 см.
6
У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 9 см і 12 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.
7,2 см
6 см
8 см
9,6 см
Пояснення: Спочатку знайдемо гіпотенузу: c = √(9² + 12²) = 15 см. Висота до гіпотенузи в прямокутному трикутнику: h = ab/c = 9·12/15 = 7,2 см.
7
У прямокутному трикутнику один із гострих кутів дорівнює 35°, а гіпотенуза — 20 см. Знайдіть катет, прилеглий до кута 35°.
16,4 см
11,5 см
14,3 см
18,0 см
Пояснення: Прилеглий катет дорівнює c·cos 35°. Отже, 20·cos 35° ≈ 20·0,819 = 16,38 см ≈ 16,4 см.
8
Площа трапеції дорівнює 96 см², а її основи — 10 см і 14 см. Знайдіть висоту трапеції.
8 см
6 см
7 см
9 см
Пояснення: Формула площі трапеції: S = (a + b)h/2. Маємо 96 = (10 + 14)h/2 = 12h. Отже, h = 8 см.
9
Яке з наведених тверджень є правильним для будь-якого описаного чотирикутника?
Суми протилежних сторін рівні
Протилежні кути рівні
Діагоналі завжди перпендикулярні
Усі сторони рівні
Пояснення: Для чотирикутника, описаного навколо кола, виконується властивість: суми довжин протилежних сторін рівні.
10
Площа прямокутника дорівнює 84 см², а одна зі сторін на 5 см більша за іншу. Знайдіть меншу сторону.
7 см
6 см
8 см
9 см
Пояснення: Нехай менша сторона x, тоді більша x + 5. Маємо x(x + 5) = 84. Перевіряємо: 7·12 = 84, отже x = 7 см.
