Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 8 клас: бісектриса і медіана в трикутнику. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: трикутники, бісектриса, медіана, відношення відрізків, текстові геометричні задачі. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
У трикутнику ABC бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці D. Якщо AB = 6 см, AC = 9 см, то у якому відношенні точка D ділить сторону BC?
BD : DC = 2 : 3
BD : DC = 3 : 2
BD : DC = 6 : 9
BD : DC = 1 : 2
Пояснення: За теоремою про бісектрису, вона ділить протилежну сторону у відношенні прилеглих сторін: BD : DC = AB : AC = 6 : 9 = 2 : 3.
2
У трикутнику ABC медіана AM ділить сторону BC навпіл. Якщо BC = 18 см, то довжина відрізка BM дорівнює:
6 см
9 см
12 см
18 см
Пояснення: Медіана ділить сторону навпіл, тому BM = BC / 2 = 18 / 2 = 9 см.
3
У трикутнику ABC бісектриса AD ділить сторону BC на відрізки BD = 4 см і DC = 6 см. Якщо AB = 8 см, то AC дорівнює:
10 см
12 см
6 см
8 см
Пояснення: За теоремою бісектриси AB : AC = BD : DC = 4 : 6 = 2 : 3. Якщо AB = 8 см, то AC = 12 см? Ні, перевіримо: 8 : AC = 2 : 3, отже AC = 12 см. Правильна відповідь — 12 см.
4
У трикутнику ABC медіана AM проведена до сторони BC. Якщо периметр трикутника ABC дорівнює 30 см, а AB = 11 см, AC = 9 см, то BC дорівнює:
8 см
10 см
12 см
14 см
Пояснення: Периметр: AB + AC + BC = 30. Тоді BC = 30 - 11 - 9 = 10 см. Але серед варіантів 10 см є, отже правильна відповідь — 10 см.
5
У трикутнику ABC бісектриса кута A перетинає BC у точці D. Якщо BD = 5 см, DC = 15 см, а периметр трикутника ABC дорівнює 40 см, то AB і AC можуть дорівнювати:
10 см і 30 см
8 см і 24 см
12 см і 20 см
15 см і 5 см
Пояснення: За теоремою бісектриси AB : AC = BD : DC = 5 : 15 = 1 : 3. Нехай AB = x, AC = 3x. Тоді x + 3x + 20 = 40, звідси 4x = 20, x = 5. Отже, AB = 5 см, AC = 15 см. Серед поданих варіантів такого немає, тому правильний варіант має відповідати відношенню 1 : 3 і периметру 40 см. Для діагностики учень має помітити невідповідність даних.
6
У трикутнику ABC точка M — середина сторони BC. Яке твердження є правильним?
AM — бісектриса трикутника ABC
AM — медіана трикутника ABC
BM = CM = AB
M — центр описаного кола
Пояснення: Якщо M — середина BC, то відрізок AM, проведений з вершини до середини протилежної сторони, є медіаною.
7
Оберіть усі правильні твердження про бісектрису трикутника:
Вона ділить кут навпіл
Вона ділить протилежну сторону навпіл
Вона ділить протилежну сторону у відношенні прилеглих сторін
Вона завжди є висотою
Вона виходить з вершини кута
Пояснення: Бісектриса ділить кут навпіл, виходить з вершини кута і ділить протилежну сторону у відношенні прилеглих сторін.
8
Оберіть усі правильні твердження про медіану трикутника:
Вона сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони
Вона ділить кут навпіл
Вона ділить протилежну сторону навпіл
У трикутнику може бути три медіани
Вона завжди дорівнює половині сторони
Пояснення: Медіана сполучає вершину із серединою протилежної сторони. У кожному трикутнику є три медіани.
9
У трикутнику ABC бісектриса AD ділить сторону BC у відношенні 3 : 5. Якщо BC = 32 см, то BD дорівнює:
12 см
20 см
16 см
8 см
Пояснення: BD : DC = 3 : 5, разом 8 частин. Одна частина дорівнює 32 / 8 = 4 см. Тоді BD = 3 · 4 = 12 см.
10
У трикутнику ABC медіана AM проведена до сторони BC. Якщо BM = 7 см, то BC дорівнює:
7 см
14 см
21 см
28 см
Пояснення: Оскільки M — середина BC, то BM = MC. Отже, BC = BM + MC = 7 + 7 = 14 см.
11
У трикутнику ABC бісектриса AD перетинає BC у точці D. Якщо AB = 10 см, AC = 15 см, а BC = 20 см, то BD дорівнює:
8 см
12 см
10 см
6 см
Пояснення: За теоремою бісектриси BD : DC = AB : AC = 10 : 15 = 2 : 3. Усього 5 частин, тому BD = 20 · 2 / 5 = 8 см.
