Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 9 клас: теорема косинусів і теорема синусів. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Теорема косинусів, Теорема синусів, Розв’язування трикутників, Знаходження сторін і кутів трикутника. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
У трикутнику ABC відомо: a = 7, b = 9, ∠C = 60°. Якою формулою найзручніше знайти сторону c?
c² = a² + b² - 2ab·cos C
c² = a² + b² + 2ab·cos C
a² = b² + c² - 2bc·sin A
a / sin A = b / cos B
Пояснення: Щоб знайти сторону трикутника за двома сторонами і кутом між ними, використовують теорему косинусів.
2
У трикутнику ABC: a = 8, b = 6, c = 10. Який кут є прямим?
∠A
∠B
∠C
Жоден кут не є прямим
Пояснення: Оскільки 8² + 6² = 10², то трикутник прямокутний, а кут, протилежний найбільшій стороні c = 10, є прямим.
3
У трикутнику ABC відомо: a = 5, b = 7, ∠C = 120°. Знайдіть c.
c = √39
c = √109
c = 13
c = 12
Пояснення: За теоремою косинусів: c² = 5² + 7² - 2·5·7·cos120°. Оскільки cos120° = -1/2, маємо c² = 25 + 49 + 35 = 109, тому c = √109.
4
У трикутнику ABC: ∠A = 30°, a = 10, b = 14. Яку формулу можна використати, щоб знайти ∠B?
a / sin A = b / sin B
a / cos A = b / cos B
a² = b² + c² - 2bc·cos A
a + b + c = 180°
Пояснення: Якщо відомі сторона і протилежний їй кут, а також інша сторона, то для знаходження кута зручно застосувати теорему синусів.
5
Які з наведених тверджень є правильними?
Теорема синусів пов’язує сторони трикутника з синусами протилежних кутів.
Теорема косинусів можна застосувати, якщо відомі дві сторони і кут між ними.
Теорема косинусів працює лише для прямокутних трикутників.
За теоремою синусів можна знайти невідомий кут трикутника, якщо відомі одна сторона і два кути.
Пояснення: Правильні твердження описують зміст теореми синусів і косинусів та типові випадки їх застосування.
6
У трикутнику ABC відомо: a = 12, ∠A = 45°, ∠B = 60°. Знайдіть кут C.
75°
90°
105°
30°
Пояснення: Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Отже, ∠C = 180° - 45° - 60° = 75°.
7
У трикутнику ABC: a = 9, ∠A = 30°, ∠B = 45°. Знайдіть сторону b, якщо sin45° = √2/2 і sin30° = 1/2.
b = 9√2/2
b = 9/√2
b = 9√3/2
b = 18
Пояснення: За теоремою синусів: a/sin A = b/sin B. Тоді b = a·sin B/sin A = 9·(√2/2)/(1/2) = 9√2.
8
У трикутнику ABC відомо: a = 13, b = 14, c = 15. Знайдіть cos C.
1/5
-1/5
2/5
-2/5
Пояснення: За теоремою косинусів: c² = a² + b² - 2ab·cos C. Підставляємо: 15² = 13² + 14² - 2·13·14·cos C. Маємо 225 = 365 - 364cos C, звідси cos C = 140/364 = 1/5.
9
У трикутнику ABC відомо: a = 10, b = 7, c = 8. Який кут найбільший?
∠A
∠B
∠C
Усі кути рівні
Пояснення: Найбільшому боці трикутника відповідає найбільший протилежний кут. Найбільша сторона — a = 10, отже найбільший кут — ∠A.
10
У трикутнику ABC відомо: a = 8, b = 11, ∠C = 90°. Знайдіть c.
c = 3
c = 13
c = √57
c = 19
Пояснення: Коли ∠C = 90°, теорема косинусів переходить у теорему Піфагора: c² = a² + b² = 8² + 11² = 185. Але тут c — сторона, що лежить проти кута C, тобто гіпотенуза. Отже, c = √185. Проте серед варіантів немає цього значення, тому завдання слід перевірити.
