Logowanie
Logowanie Znajdź korepetytora
Zadanie

Zadanie „Funkcja kwadratowa w zadaniu optymalizacyjnym”, Technikum, klasa 4

TypZadanie
KlasaTechnikum, klasa 4
PrzedmiotMatematyka
Czas trwania55 min
Ocena★ 5

O tym materiale

Zadanie z matematyki, Technikum, klasa 4: Funkcja kwadratowa w zadaniu optymalizacyjnym. Podpowiedzi krok po kroku, pełne rozwiązanie i odpowiedź. Czas trwania: 55 min.

Treść zadania

Prostokątny plac ma obwód 80 m. Jedna z jego stron ma długość x metrów, a druga y metrów. Dodatkowo wiadomo, że pole placu jest o 64 m² mniejsze od pola kwadratu o boku 20 m. Wyznacz możliwe wymiary placu. Następnie oblicz, dla jakich wartości x pole placu jest największe, i podaj to największe pole.

Wskazówki do wyjaśnienia

Odsłaniaj wskazówki stopniowo — najpierw pozwól dziecku pomyśleć samodzielnie.

Wskazówka 1

Zapisz zależność między bokami prostokąta z warunku o obwodzie: 2x + 2y = 80.

Wskazówka 2

Wyraź y przez x, a potem zapisz wzór na pole P = x·y.

Wskazówka 3

Skorzystaj z informacji o polu kwadratu o boku 20 m i zapisz równanie dla pola placu.

Wskazówka 4

Rozwiąż otrzymane równanie kwadratowe i sprawdź, które rozwiązania są dodatnie oraz spełniają warunki zadania.

Wskazówka 5

Aby znaleźć największe pole, rozważ funkcję kwadratową P(x) i odczytaj współrzędną wierzchołka paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku

Z warunku obwodu mamy 2x + 2y = 80, więc x + y = 40, a stąd y = 40 - x. Pole prostokąta wynosi P = x(40 - x) = 40x - x². Wiadomo też, że pole placu jest o 64 m² mniejsze od pola kwadratu o boku 20 m, czyli P = 20² - 64 = 400 - 64 = 336. Otrzymujemy równanie 40x - x² = 336, czyli x² - 40x + 336 = 0. Liczymy deltę: Δ = 40² - 4·336 = 1600 - 1344 = 256, więc √Δ = 16. Zatem x = (40 ± 16)/2, czyli x = 12 lub x = 28. Odpowiadające wartości y to 28 lub 12, więc wymiary placu to 12 m i 28 m. Aby znaleźć największe pole funkcji P(x) = -x² + 40x, wyznaczamy wierzchołek: x = -b/(2a) = -40/(2·(-1)) = 20. Wtedy y = 40 - 20 = 20, a największe pole wynosi P(20) = 20·20 = 400 m².

Odpowiedź
Wymiary placu to 16 m i 24 m. Największe pole wynosi 400 m² i jest osiągane dla x = 20 m oraz y = 20 m.

Chcesz spersonalizowane zadania i plan rozwoju dla swojego dziecka?

Dobierzemy korepetytora pod poziom i cele dziecka. Po pierwszej lekcji — indywidualny plan poprawy wiedzy.

Dobierz korepetytora

Najczęstsze pytania

Zadanie pokazuje nie tylko odpowiedź, ale i logikę rozwiązania krok po kroku. Dziecko uczy się rozumować, a nie zapamiętywać gotowy wynik.

To etapowe naprowadzenia, które można odsłaniać stopniowo. Najpierw dziecko próbuje samo, a wskazówka pomaga ruszyć z miejsca, nie dając gotowej odpowiedzi.

Rozwiązanie krok po kroku jest napisane prostym językiem — możecie analizować je razem z dzieckiem. A korepetytor Mathema wyjaśni temat systemowo i dobierze podobne zadania.