Wzory maturalne z matematyki — pełna karta wzorów

Komplet wzorów potrzebnych na maturze z matematyki: potęgi i logarytmy, ciągi, funkcje, planimetria, trygonometria, stereometria i rachunek prawdopodobieństwa. Drukuje się na dwie strony A4.

87 wzorów · drukuje się na dwie strony A4

Iloczyn potęg o tej samej podstawie
Iloraz potęg o tej samej podstawieDla a ≠ 0. Przy dzieleniu wykładniki odejmujemy.
Potęga potęgi
Potęga iloczynu i ilorazuPotęgowanie rozdziela się na mnożenie i dzielenie, ale nigdy na dodawanie: (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ.
Wykładnik zerowy i ujemnyDla a ≠ 0. Minus w wykładniku oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną.
Potęga o wykładniku wymiernymDla a > 0 i n ⩾ 2. Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka.
Pierwiastek z iloczynu i ilorazuDla a ⩾ 0 i b > 0. Z sumy pierwiastka wyłączyć się nie da: √(a + b) ≠ √a + √b.
Pierwiastek kwadratowy z kwadratuWartość bezwzględna jest konieczna — dla a < 0 zapis √(a²) = a jest fałszywy.

Definicja logarytmuWarunki: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Logarytm to pytanie „do której potęgi podnieść podstawę”.
Logarytm iloczynuDla x > 0 i y > 0. Mnożenie wewnątrz zamienia się na dodawanie na zewnątrz.
Logarytm ilorazu
Logarytm potęgiWykładnik wychodzi przed logarytm — to najczęściej używany wzór w zadaniach z rozszerzenia.
Zamiana podstawy logarytmuNowa podstawa x musi spełniać x > 0 i x ≠ 1. Przydaje się, gdy kalkulator zna tylko log i ln.
Logarytm jedynki i logarytm podstawy

Kwadrat sumyŚrodkowy składnik jest podwojony — jego pominięcie to najczęstszy błąd na maturze.
Kwadrat różnicyb² zawsze wychodzi dodatnie, bez względu na znak b.
Różnica kwadratówNajczęściej opłacalny rozkład — sprawdź go zawsze przed liczeniem delty.
Sześcian sumy
Sześcian różnicy
Suma sześcianówZnak w nawiasie kwadratowym jest przeciwny do znaku między sześcianami.
Różnica sześcianów

Postać ogólna równania kwadratowegoGdy a = 0, równanie przestaje być kwadratowe — w zadaniach z parametrem trzeba to zapisać osobno.
Wyróżnik trójmianu (delta)Δ > 0 — dwa pierwiastki, Δ = 0 — jeden, Δ < 0 — brak pierwiastków rzeczywistych.
Pierwiastki równania kwadratowegoStosujemy dla Δ > 0. Cały licznik dzielimy przez 2a — nie tylko pierwiastek.
Pierwiastek podwójnyDla Δ = 0. To zarazem odcięta wierzchołka paraboli.
Wzory Viète’aWymagają Δ ⩾ 0. Szybki sposób na dobranie pierwiastków całkowitych w pamięci.
Znak trójmianu w nierównościDla a > 0 wartości dodatnie leżą na zewnątrz miejsc zerowych, ujemne między nimi. Przy a < 0 role się odwracają.
Mnożenie nierówności przez liczbę ujemną

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznegoRóżnicę mnożymy przez (n − 1), a nie przez n — między a₁ a aₙ jest o jeden krok mniej.
Różnica ciągu arytmetycznego
Warunek na ciąg arytmetycznyKażdy wyraz poza skrajnymi jest średnią arytmetyczną sąsiadów — tym się dowodzi, że ciąg jest arytmetyczny.
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznegoPierwsza postać, gdy znasz aₙ, druga — gdy znasz tylko a₁ i r.
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznegoWykładnik to n − 1, bo a₁ mnożymy przez q dopiero przy przejściu do a₂.
Iloraz ciągu geometrycznegoWymaga aₙ ≠ 0 — w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Warunek na ciąg geometryczny
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznegoTylko dla q ≠ 1. Gdy q = 1, wszystkie wyrazy są równe i Sₙ = n · a₁.
Suma szeregu geometrycznego zbieżnegoWyłącznie dla |q| < 1. Poza tym przedziałem szereg jest rozbieżny i suma nie istnieje.
Procent składanyK₀ — kapitał początkowy, p — oprocentowanie okresu, n — liczba okresów kapitalizacji, a nie lat.

Funkcja liniowaa — współczynnik kierunkowy (a > 0 rosnąca, a < 0 malejąca, a = 0 stała), b — punkt przecięcia z osią OY.
Miejsce zerowe funkcji liniowejDla a ≠ 0. Przy a = 0 funkcja albo nie ma miejsc zerowych, albo ma ich nieskończenie wiele.
Współczynnik kierunkowy z dwóch punktówWymaga x₁ ≠ x₂. Kolejność punktów musi być ta sama w liczniku i mianowniku.
Proste równoległe i prostopadłeWarunek prostopadłości nie działa dla prostej pionowej, która nie ma współczynnika kierunkowego.
Funkcja kwadratowa — postać ogólna
Funkcja kwadratowa — postać kanonicznaW(p, q) to wierzchołek paraboli; q jest wartością najmniejszą dla a > 0 i największą dla a < 0.
Funkcja kwadratowa — postać iloczynowaIstnieje tylko dla Δ ⩾ 0; przy Δ = 0 zapisujemy f(x) = a(x − x₀)².
Funkcja wykładniczaDla a > 0 i a ≠ 1. Rosnąca przy a > 1, malejąca przy 0 < a < 1; wykres zawsze przechodzi przez punkt (0, 1).

Twierdzenie Pitagorasac to przeciwprostokątna — zawsze najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.
Pole trójkątah musi być wysokością opuszczoną właśnie na bok a, a nie dowolnym odcinkiem w trójkącie.
Wzór HeronaUżywamy, gdy znamy wyłącznie trzy boki. p to połowa obwodu.
Trójkąt równoboczny — wysokość i pole
Pole równoległobokuh to odległość między bokami równoległymi, nie długość boku ukośnego.
Pole rombue i f to przekątne. W rombie przecinają się pod kątem prostym i połowią wzajemnie.
Pole trapezu
Suma kątów wielokąta wypukłegoDla trójkąta daje 180°, dla czworokąta 360°. Suma kątów zewnętrznych zawsze wynosi 360°.
Obwód i pole kołaObwód jest liniowy w r, pole kwadratowe — podwojenie promienia czterokrotnie zwiększa pole.
Długość łuku i pole wycinka kołaα to kąt środkowy wycinka w stopniach.
Kąt środkowy i kąt wpisanyKąty oparte na tym samym łuku; kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty.
Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Funkcje trygonometryczne kąta ostregoa — przyprostokątna naprzeciw kąta α, b — przyprostokątna przy nim, c — przeciwprostokątna.
Jedynka trygonometrycznaNajczęstsze przejście, gdy w zadaniu podany jest tylko sinus albo tylko cosinus.
Tangens przez sinus i cosinusPod warunkiem cos α ≠ 0, czyli α ≠ 90°.
Wartości funkcji dla kątów 30°, 45°, 60°Kolejność kątów: 30°, 45°, 60°. Cosinusy to te same liczby czytane od końca.
Kąty dopełniające do 90°Stąd w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego równa się cosinusowi drugiego.
Funkcje kąta rozwartegoSinus kąta rozwartego pozostaje dodatni, cosinus zmienia znak — tu gubi się najwięcej punktów w twierdzeniu cosinusów.
Twierdzenie sinusówR to promień okręgu opisanego. Bok i kąt w jednym ułamku muszą leżeć naprzeciw siebie.
Twierdzenie cosinusówDla α = 90° cos α = 0 i wzór sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa.
Pole trójkąta z sinusem kątaγ musi być kątem zawartym między bokami a i b.
Funkcje kąta podwojonegoCosinus podwojonego kąta można też zapisać jako 1 − 2sin²α lub 2cos²α − 1.
Sinus i cosinus sumy kątówW cosinusie znak jest przeciwny do znaku między kątami — to nie pomyłka w zapisie.
Miara łukowa kątaPrzeliczenie: stopnie · π/180° = radiany. Zadania z rozszerzenia zwykle podają kąt w radianach.

Objętość graniastosłupaPₚ to pole podstawy, H — wysokość bryły, czyli odległość między podstawami.
Objętość ostrosłupaTrzecia część objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Objętość prostopadłościanu i sześcianu
Przekątna prostopadłościanu i sześcianuPrzekątna ściany sześcianu to a√2 — łatwo pomylić ją z przekątną bryły.
Walec — objętość i pole powierzchni całkowitejPowierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o bokach 2πr i H.
Stożek — objętość i pole powierzchni całkowitejl to tworząca, nie wysokość; zależy od nich Pitagoras: l² = r² + H².
Objętość kuli
Pole powierzchni kuliDokładnie cztery razy więcej niż pole koła wielkiego o tym samym promieniu.

Permutacje zbioru n-elementowegon! = 1 · 2 · … · n, przy czym 0! = 1. Liczy wszystkie ustawienia n różnych elementów.
Kombinacje — wybór k spośród nUżywamy, gdy kolejność wyboru nie ma znaczenia, np. przy losowaniu składu drużyny.
Wariacje z powtórzeniamiKolejność ma znaczenie, a elementy mogą się powtarzać — typowe dla kodów i numerów PIN.
Prawdopodobieństwo klasyczneObowiązuje tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnegoPrzy zadaniach ze słowem „co najmniej” prawie zawsze szybciej jest policzyć zdarzenie przeciwne.
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeńCzęść wspólną odejmujemy, bo w przeciwnym razie policzylibyśmy ją dwa razy.
Średnia arytmetyczna
MedianaDane trzeba najpierw uporządkować rosnąco — pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.
Odchylenie standardoweKwadrat odchylenia standardowego to wariancja. Odchylenie ma tę samą jednostkę co dane.

Wzory opanowane — czas zastosować je w zadaniach

Indywidualne lekcje matematyki dopasowane do poziomu i grafiku. Pierwsza lekcja od 49 zł, a korepetytor omówi na niej dokładnie Twoje słabe tematy.

Dobierz korepetytora

MathemaWzory maturalne z matematyki — pełna karta wzorów

Wzory maturalne z matematyki — pełna karta wzorów

Potęgi i pierwiastki

Iloczyn potęg o tej samej podstawieaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Iloraz potęg o tej samej podstawieaᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potęga potęgi(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Potęga iloczynu i ilorazu(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ, (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ
Wykładnik zerowy i ujemnya⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Potęga o wykładniku wymiernymaᵐ⁄ⁿ = ⁿ√(aᵐ)
Pierwiastek z iloczynu i ilorazuⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b, ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b
Pierwiastek kwadratowy z kwadratu√(a²) = |a|

Logarytmy

Definicja logarytmulogₐ b = c ⟺ aᶜ = b
Logarytm iloczynulogₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y
Logarytm ilorazulogₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y
Logarytm potęgilogₐ (xᶜ) = c · logₐ x
Zamiana podstawy logarytmulogₐ b = logₓ b / logₓ a
Logarytm jedynki i logarytm podstawylogₐ 1 = 0, logₐ a = 1

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy(a + b)² = a² + 2ab + b²
Kwadrat różnicy(a − b)² = a² − 2ab + b²
Różnica kwadratówa² − b² = (a − b)(a + b)
Sześcian sumy(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Sześcian różnicy(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Suma sześcianówa³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Różnica sześcianówa³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Równania i nierówności kwadratowe

Postać ogólna równania kwadratowegoax² + bx + c = 0, a ≠ 0
Wyróżnik trójmianu (delta)Δ = b² − 4ac
Pierwiastki równania kwadratowegox₁ = (−b − √Δ) / (2a), x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
Pierwiastek podwójnyx₀ = −b / (2a)
Wzory Viète’ax₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a
Znak trójmianu w nierównościa > 0, Δ > 0: ax² + bx + c > 0 ⟺ x < x₁ lub x > x₂
Mnożenie nierówności przez liczbę ujemnąx < y ⟺ −x > −y

Ciągi

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznegoaₙ = a₁ + (n − 1)r
Różnica ciągu arytmetycznegor = aₙ₊₁ − aₙ
Warunek na ciąg arytmetycznyaₙ₊₁ = (aₙ + aₙ₊₂) / 2
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznegoSₙ = ((a₁ + aₙ) / 2) · n = ((2a₁ + (n − 1)r) / 2) · n
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznegoaₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
Iloraz ciągu geometrycznegoq = aₙ₊₁ / aₙ
Warunek na ciąg geometrycznyaₙ₊₁² = aₙ · aₙ₊₂
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznegoSₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)
Suma szeregu geometrycznego zbieżnegoS = a₁ / (1 − q)
Procent składanyKₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ

Funkcje

Funkcja liniowaf(x) = ax + b
Miejsce zerowe funkcji liniowejx₀ = −b / a
Współczynnik kierunkowy z dwóch punktówa = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Proste równoległe i prostopadłerównoległe: a₁ = a₂, prostopadłe: a₁ · a₂ = −1
Funkcja kwadratowa — postać ogólnaf(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
Funkcja kwadratowa — postać kanonicznaf(x) = a(x − p)² + q, p = −b / (2a), q = −Δ / (4a)
Funkcja kwadratowa — postać iloczynowaf(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Funkcja wykładniczaf(x) = aˣ

Planimetria

Twierdzenie Pitagorasaa² + b² = c²
Pole trójkątaP = ½ · a · h
Wzór HeronaP = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p = (a + b + c) / 2
Trójkąt równoboczny — wysokość i poleh = (a√3) / 2, P = (a²√3) / 4
Pole równoległobokuP = a · h
Pole rombuP = ½ · e · f
Pole trapezuP = ((a + b) / 2) · h
Suma kątów wielokąta wypukłego(n − 2) · 180°
Obwód i pole kołaL = 2πr, P = πr²
Długość łuku i pole wycinka kołal = (α / 360°) · 2πr, P = (α / 360°) · πr²
Kąt środkowy i kąt wpisanyα = 2β
Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych|AB| = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²)

Trygonometria

Funkcje trygonometryczne kąta ostregosin α = a / c, cos α = b / c, tg α = a / b
Jedynka trygonometrycznasin²α + cos²α = 1
Tangens przez sinus i cosinustg α = sin α / cos α
Wartości funkcji dla kątów 30°, 45°, 60°sin: ½, √2/2, √3/2; cos: √3/2, √2/2, ½; tg: √3/3, 1, √3
Kąty dopełniające do 90°sin(90° − α) = cos α, cos(90° − α) = sin α
Funkcje kąta rozwartegosin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α
Twierdzenie sinusówa / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
Twierdzenie cosinusówa² = b² + c² − 2bc · cos α
Pole trójkąta z sinusem kątaP = ½ · a · b · sin γ
Funkcje kąta podwojonegosin 2α = 2 sin α · cos α, cos 2α = cos²α − sin²α
Sinus i cosinus sumy kątówsin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Miara łukowa kąta180° = π rad, 1 rad = 180° / π

Stereometria

Objętość graniastosłupaV = Pₚ · H
Objętość ostrosłupaV = ⅓ · Pₚ · H
Objętość prostopadłościanu i sześcianuV = a · b · c, V = a³
Przekątna prostopadłościanu i sześcianud = √(a² + b² + c²), d = a√3
Walec — objętość i pole powierzchni całkowitejV = πr²H, P = 2πr² + 2πrH
Stożek — objętość i pole powierzchni całkowitejV = ⅓ · πr²H, P = πr² + πrl
Objętość kuliV = ⁴⁄₃ · πR³
Pole powierzchni kuliP = 4πR²

Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka

Permutacje zbioru n-elementowegoPₙ = n!
Kombinacje — wybór k spośród nCₙᵏ = n! / (k! · (n − k)!)
Wariacje z powtórzeniamiWₙᵏ = nᵏ
Prawdopodobieństwo klasyczneP(A) = |A| / |Ω|
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnegoP(A′) = 1 − P(A)
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeńP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Średnia arytmetycznax̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
Medianan nieparzyste: wyraz środkowy; n parzyste: średnia dwóch środkowych
Odchylenie standardoweσ = √(((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n)