O tym materiale
Zadanie z matematyki, Technikum, klasa 1: podstawa, zamiana liczby na logarytm i ułamki. Podpowiedzi krok po kroku, pełne rozwiązanie i odpowiedź. Tematy: Logarytmy. Czas trwania: 55 min.
Treść zadania
Wskazówki do wyjaśnienia
Odsłaniaj wskazówki stopniowo — najpierw pozwól dziecku pomyśleć samodzielnie.
Wskazówka 1
Przypomnij sobie definicję logarytmu: \(\log_a b = x\), gdy \(a^x = b\).
Wskazówka 2
Oblicz po kolei każdy logarytm, zamieniając liczby na potęgi odpowiednich podstaw.
Wskazówka 3
Zwróć uwagę na ułamki: \(\frac{1}{25}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{9}\) można zapisać jako potęgi ujemne.
Wskazówka 4
Liczbę 81 zapisz jako potęgę liczby 3, a potem zamień zapis potęgowy na logarytm.
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z definicji logarytmu. 1. \(\log_2 8 = 3\), ponieważ \(2^3 = 8\). 2. \(\log_3 27 = 3\), ponieważ \(3^3 = 27\). 3. \(\log_5 \frac{1}{25} = \log_5 5^{-2} = -2\), ponieważ \(5^{-2} = \frac{1}{25}\). 4. \(\log_4 16 = 2\), ponieważ \(4^2 = 16\). Podstawiamy do wyrażenia: \[ \log_2 8 + \log_3 27 - \log_5 \frac{1}{25} + \log_4 16 = 3 + 3 - (-2) + 2 = 10. \] Uwaga: ponieważ w wyrażeniu jest znak minus przed \(\log_5 \frac{1}{25}\), odejmujemy liczbę \(-2\), więc wynik jest równy 10. Teraz zapis liczby 81 w postaci logarytmu o podstawie 3: \[ 3^4 = 81 \quad \Rightarrow \quad \log_3 81 = 4. \] Na końcu logarytmy z ułamków: \[ \frac{1}{8} = 2^{-3} \quad \Rightarrow \quad \log_2 \frac{1}{8} = -3, \] \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \quad \Rightarrow \quad \log_3 \frac{1}{9} = -2. \] Ostatecznie: \[ \log_2 8 + \log_3 27 - \log_5 \frac{1}{25} + \log_4 16 = 10, \quad \log_3 81 = 4, \quad \log_2 \frac{1}{8} = -3, \quad \log_3 \frac{1}{9} = -2. \]
