O tym materiale
Zadanie z matematyki, Liceum, klasa 4: Równania i nierówności. Podpowiedzi krok po kroku, pełne rozwiązanie i odpowiedź. Czas trwania: 60 min.
Treść zadania
Wskazówki do wyjaśnienia
Odsłaniaj wskazówki stopniowo — najpierw pozwól dziecku pomyśleć samodzielnie.
Wskazówka 1
Rozważ dwa przypadki wynikające z wartości bezwzględnej: x-2 ≥ 0 oraz x-2 < 0.
Wskazówka 2
W każdym przypadku sprowadź równanie do postaci liniowej i sprawdź, kiedy rozwiązanie spełnia założenia danego przypadku.
Wskazówka 3
Następnie porównaj liczbę rozwiązań w zależności od a i wybierz te wartości, dla których istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie krok po kroku
Rozpatrujemy dwa przypadki. 1) Gdy x ≥ 2, mamy |x-2| = x-2. Równanie przyjmuje postać: (x-2) + a = 3x - 1 a - 1 = 2x x = (a - 1)/2. Warunek x ≥ 2 daje (a - 1)/2 ≥ 2, czyli a ≥ 5. 2) Gdy x < 2, mamy |x-2| = 2-x. Równanie przyjmuje postać: (2-x) + a = 3x - 1 a + 3 = 4x x = (a + 3)/4. Warunek x < 2 daje (a + 3)/4 < 2, czyli a < 5. Teraz sprawdzamy liczbę rozwiązań. - Dla a < 5 rozwiązanie z drugiego przypadku istnieje i spełnia warunek x < 2. - Dla a > 5 rozwiązanie z pierwszego przypadku istnieje i spełnia warunek x ≥ 2. - Dla a = 5 oba wzory dają x = 2, więc otrzymujemy jedno rozwiązanie. - Dla a = 1 z drugiego przypadku mamy x = 1, a z pierwszego x = 0, ale pierwszy nie spełnia warunku x ≥ 2, więc zostaje tylko jedno rozwiązanie. Zatem równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste dla a = 1 oraz a = 5.
