O tym materiale
Test diagnostyczny z matematyki, Liceum, klasa 3: liczby rzeczywiste. 29 zadań z odpowiedziami i wyjaśnieniami. Tematy: liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, funkcje, geometria płaska, trygonometria, ciągi, statystyka i prawdopodobieństwo. Czas trwania: 55 min.
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Która liczba jest niewymierna?
\(\sqrt{49}\)
\(\frac{3}{8}\)
\(\sqrt{2}\)
\(-5\)
Wyjaśnienie: Liczba niewymierna nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. \(\sqrt{2}\) jest niewymierna.
2
Uprość wyrażenie: \(2x-3( x-4 )\).
\(-x+12\)
\(-x+4\)
\(5x-12\)
\(x+12\)
Wyjaśnienie: \(2x-3(x-4)=2x-3x+12=-x+12\).
3
Rozwiąż równanie: \(3x-7=11\).
\(x=4\)
\(x=6\)
\(x=-6\)
\(x=18\)
Wyjaśnienie: Dodajemy 7 do obu stron: \(3x=18\), więc \(x=6\).
4
Która z funkcji jest liniowa?
\(f(x)=x^2+1\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\)
\(f(x)=3x-2\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Wyjaśnienie: Funkcja liniowa ma postać \(f(x)=ax+b\).
5
Oblicz wartość wyrażenia dla \(x=2\): \(x^2-4x+1\).
\(-3\)
\(-1\)
\(1\)
\(3\)
Wyjaśnienie: \(2^2-4\cdot2+1=4-8+1=-3\).
6
Rozwiąż nierówność: \(x+5>12\).
\(x>7\)
\(x<7\)
\(x\ge 7\)
\(x\le 7\)
Wyjaśnienie: Odejmujemy 5 od obu stron: \(x>7\).
7
Pole prostokąta o bokach 6 cm i 9 cm wynosi:
\(15\,\text{cm}^2\)
\(27\,\text{cm}^2\)
\(54\,\text{cm}^2\)
\(108\,\text{cm}^2\)
Wyjaśnienie: Pole prostokąta to iloczyn boków: \(6\cdot9=54\).
8
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 4. Długość przeciwprostokątnej wynosi:
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
Wyjaśnienie: Z twierdzenia Pitagorasa: \(3^2+4^2=9+16=25\), więc przeciwprostokątna ma długość 5.
9
Oblicz: \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{5}{6}\)
\(\frac{3}{9}\)
\(\frac{2}{9}\)
Wyjaśnienie: Sprowadzamy do wspólnego mianownika: \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\), więc \(\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\).
10
Która para liczb spełnia równanie \(x+y=10\)?
\((2,6)\)
\((4,5)\)
\((7,3)\)
\((1,8)\)
Wyjaśnienie: Sprawdzamy sumę: tylko \(7+3=10\).
11
Oblicz: \((x+2)^2\).
\(x^2+4\)
\(x^2+2x+4\)
\(x^2+4x+4\)
\(x^2-4x+4\)
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
12
Rozwiąż równanie: \(x^2=49\).
\(x=7\)
\(x=-7\)
\(x=\pm 7\)
\(x=49\)
Wyjaśnienie: Równanie kwadratowe \(x^2=49\) ma dwa rozwiązania: \(x=7\) i \(x=-7\).
13
Dla funkcji \(f(x)=2x-1\) oblicz \(f(3)\).
\(3\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
Wyjaśnienie: \(f(3)=2\cdot3-1=5\).
14
Miejscem zerowym funkcji \(f(x)=x-4\) jest liczba:
\(-4\)
\(0\)
\(4\)
\(8\)
Wyjaśnienie: Miejsce zerowe spełnia \(f(x)=0\), więc \(x-4=0\) i \(x=4\).
15
Oblicz obwód koła o promieniu 5 cm. Przyjmij \(\pi\approx 3{,}14\).
\(15{,}7\,\text{cm}\)
\(31{,}4\,\text{cm}\)
\(78{,}5\,\text{cm}\)
\(10\,\text{cm}\)
Wyjaśnienie: Obwód koła: \(2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\) cm.
16
Oblicz wartość wyrażenia: \(\frac{a^2-b^2}{a-b}\) dla \(a\neq b\).
\(a-b\)
\(a+b\)
\(a^2+b^2\)
\(ab\)
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), więc po skróceniu zostaje \(a+b\).
17
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz 4 i różnicę 3. Jaki jest trzeci wyraz?
\(7\)
\(10\)
\(12\)
\(13\)
Wyjaśnienie: Kolejne wyrazy to 4, 7, 10, ... więc trzeci wyraz to 10.
18
Średnia arytmetyczna liczb 2, 4, 6, 8 wynosi:
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
Wyjaśnienie: Suma liczb to 20, a \(20:4=5\).
19
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej z liczb 1, 2, 3, 4, 5 wynosi:
\(\frac{1}{5}\)
\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{3}{5}\)
\(\frac{4}{5}\)
Wyjaśnienie: Liczby parzyste to 2 i 4, czyli 2 z 5 możliwości.
20
Rozwiąż układ równań: \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
\((x,y)=(3,4)\)
\((x,y)=(4,3)\)
\((x,y)=(2,5)\)
\((x,y)=(1,6)\)
Wyjaśnienie: Dodajemy równania: \(2x=8\), więc \(x=4\). Wtedy \(y=3\).
21
Rozwiąż nierówność: \(2x-3\le 9\).
\(x\le 3\)
\(x\le 6\)
\(x\ge 6\)
\(x\ge 3\)
Wyjaśnienie: Dodajemy 3: \(2x\le 12\), więc \(x\le 6\).
22
Funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2-4x+3\) ma miejsca zerowe:
\(x=1\) i \(x=3\)
\(x=-1\) i \(x=-3\)
\(x=0\) i \(x=4\)
\(x=2\) i \(x=6\)
Wyjaśnienie: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), więc miejsca zerowe to 1 i 3.
23
Oblicz wartość wyrażenia: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}:\frac{3}{8}\).
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{3}{4}\)
\(1\)
\(2\)
Wyjaśnienie: Najpierw mnożymy: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\). Następnie dzielimy przez \(\frac{3}{8}\), więc wynik to 1.
24
W trójkącie o bokach 5, 12 i 13 kąt naprzeciw boku 13 jest:
ostry
prosty
rozwarty
pełny
Wyjaśnienie: Boki 5, 12, 13 tworzą trójkąt prostokątny, bo \(5^2+12^2=13^2\).
25
Jeśli \(a_1=2\) i \(a_n=a_{n-1}+5\), to \(a_4\) wynosi:
\(12\)
\(17\)
\(20\)
\(22\)
Wyjaśnienie: Kolejne wyrazy: 2, 7, 12, 17.
26
Ile rozwiązań ma równanie \(x^2+1=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych?
0
1
2
Nieskończenie wiele
Wyjaśnienie: Dla liczb rzeczywistych \(x^2\ge 0\), więc \(x^2+1\) nie może być równe 0.
27
Wartość wyrażenia \(\log_{10}1000\) wynosi:
1
2
3
10
Wyjaśnienie: Ponieważ \(10^3=1000\), więc \(\log_{10}1000=3\).
28
Które przekształcenie jest poprawne?
\((a+b)^2=a^2+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(a^2-b^2=(a-b)^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2+b^2\)
Wyjaśnienie: Poprawny wzór to \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
29
Pole trójkąta o podstawie 10 cm i wysokości 6 cm wynosi:
\(16\,\text{cm}^2\)
\(30\,\text{cm}^2\)
\(60\,\text{cm}^2\)
\(20\,\text{cm}^2\)
Wyjaśnienie: Pole trójkąta to \(\frac{1}{2}ah\), więc \(\frac{1}{2}\cdot10\cdot6=30\).
