O tym materiale
Test diagnostyczny z matematyki, Technikum, klasa 4: Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym. 10 zadań z odpowiedziami i wyjaśnieniami. Tematy: Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, Wartości sinusa, cosinusa i tangensa, Wyznaczanie boków i kątów w trójkącie prostokątnym, Tożsamości trygonometryczne, Zastosowanie trygonometrii w zadaniach praktycznych. Czas trwania: 55 min.
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
W trójkącie prostokątnym przy kącie ostrym α przeciwprostokątna ma długość 10, a przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość 6. Ile wynosi cos α?
3/5
4/5
5/3
6/10
Wyjaśnienie: Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, więc cos α = 6/10 = 3/5.
2
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 8, a przeciwprostokątna 10. Ile wynosi druga przyprostokątna?
2
6
12
18
Wyjaśnienie: Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: x² + 8² = 10², więc x² = 100 - 64 = 36, zatem x = 6.
3
Które wyrażenie jest równe sin α w trójkącie prostokątnym?
przyprostokątna przyległa / przeciwprostokątna
przyprostokątna naprzeciw kąta / przeciwprostokątna
przeciwprostokątna / przyprostokątna naprzeciw kąta
przyprostokątna przyległa / przyprostokątna naprzeciw kąta
Wyjaśnienie: Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.
4
Oblicz tg α, jeśli sin α = 3/5 i cos α = 4/5.
3/4
4/3
7/10
5/3
Wyjaśnienie: Tangens to sin α / cos α, więc tg α = (3/5) / (4/5) = 3/4.
5
W trójkącie prostokątnym przy kącie α przeciwprostokątna ma długość 13, a sin α = 5/13. Ile wynosi długość przyprostokątnej naprzeciw kąta α?
5
8
12
13
Wyjaśnienie: Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej. Skoro sin α = 5/13, to ta przyprostokątna ma długość 5.
6
Która równość jest prawdziwa dla każdego kąta ostrego α?
sin² α + cos² α = 1
sin α + cos α = 1
tg α = sin α + cos α
sin α = cos α dla każdego kąta ostrego
Wyjaśnienie: Podstawowa tożsamość trygonometryczna ma postać sin² α + cos² α = 1.
7
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°. Ile wynosi sin 30°?
1/2
√2/2
√3/2
1
Wyjaśnienie: Dla kąta 30° wartość sinusa wynosi 1/2.
8
W trójkącie prostokątnym przy kącie α przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość 7, a przyprostokątna przyległa ma długość 24. Ile wynosi przeciwprostokątna?
25
31
17
18
Wyjaśnienie: Przeciwprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: c = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25.
9
Jeśli tg α = 2, to ile wynosi stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta α do przyprostokątnej przyległej do kąta α?
1:2
2:1
1:1
2:3
Wyjaśnienie: Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej, więc tg α = 2 oznacza stosunek 2:1.
10
W trójkącie prostokątnym cos α = 12/13. Ile wynosi sin α, jeśli α jest kątem ostrym?
5/13
12/5
13/5
5/12
Wyjaśnienie: Korzystamy z tożsamości sin² α + cos² α = 1. Mamy sin² α = 1 - (12/13)² = 1 - 144/169 = 25/169, więc sin α = 5/13.
