O tym materiale
Zadanie z matematyki, Liceum, klasa 4: geometria, trygonometria, prawdopodobieństwo i statystyka. Podpowiedzi krok po kroku, pełne rozwiązanie i odpowiedź. Tematy: Przeciwprostokątna, twierdzenie Talesa, podobieństwo trójkątów, geometria analityczna, prawdopodobieństwo, statystyka. Czas trwania: 55 min.
Treść zadania
Wskazówki do wyjaśnienia
Odsłaniaj wskazówki stopniowo — najpierw pozwól dziecku pomyśleć samodzielnie.
Wskazówka 1
W zadaniach z trójkątem prostokątnym najpierw rozpoznaj przeciwprostokątną, a potem użyj twierdzenia Pitagorasa lub definicji funkcji trygonometrycznych.
Wskazówka 2
Przy twierdzeniu Talesa i podobieństwie trójkątów zapisz proporcje odpowiednich boków, pamiętając o bokach leżących naprzeciw siebie.
Wskazówka 3
W geometrii analitycznej korzystaj ze wzoru na środek odcinka, wzoru na długość odcinka oraz z postaci kanonicznej równania okręgu.
Wskazówka 4
W prawdopodobieństwie bez zwracania liczba korzystnych wyników zmienia się po każdym losowaniu, więc mianownik i licznik trzeba liczyć krok po kroku.
Wskazówka 5
Przy średniej i medianie najpierw uporządkuj dane rosnąco, a potem oblicz sumę i środkową wartość zbioru.
Rozwiązanie krok po kroku
1. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10, a jedna przyprostokątna 6. Z twierdzenia Pitagorasa: 6^2 + x^2 = 10^2 36 + x^2 = 100 x^2 = 64 x = 8. Druga przyprostokątna ma długość 8. Jeśli kąt ostry ma 30°, to przeciwległa do niego jest ta przyprostokątna, która leży naprzeciw tego kąta; w typowym trójkącie 30°–60°–90° jest to krótsza przyprostokątna. 2. Dla kąta 35° i przyprostokątnej przyległej równej 8 korzystamy z tangensa: tg 35° = przeciwległa / przyległa, więc przeciwległa = 8 · tg 35°. To jest poprawna postać wyniku, a wartość przybliżona zależy od tablic lub kalkulatora. 3. Ponieważ DE ∥ AC, trójkąty DBE i ABC są podobne. Najpierw obliczamy AB: AB = AD + DB = 4 + 6 = 10. Z podobieństwa: DB / AB = BE / BC, 6 / 10 = 9 / BC, 3 / 5 = 9 / BC, BC = 15. Następnie CE = BC - BE = 15 - 9 = 6. 4. Trójkąty są podobne, a najkrótszy bok 5 w pierwszym odpowiada bokowi 10 w drugim, więc skala podobieństwa wynosi 2. Mnożymy pozostałe boki przez 2: 7 · 2 = 14, 9 · 2 = 18. Pozostałe boki drugiego trójkąta mają długości 14 i 18. 5. Równanie okręgu ma postać (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, więc: S = (2, -1), r = 5. Sprawdzamy punkt P(2, 4): (2 - 2)^2 + (4 + 1)^2 = 0 + 25 = 25, więc punkt spełnia równanie okręgu. Punkt P należy do okręgu. 6. Środek odcinka AB: M = ((-1 + 5)/2, (2 + 8)/2) = (4/2, 10/2) = (2, 5). Długość odcinka: AB = √((5 - (-1))^2 + (8 - 2)^2) = √(6^2 + 6^2) = √72 = 6√2. 7. Liczba wszystkich kulek: 4 + 3 + 5 = 12. Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kulki za pierwszym razem: 4/12. Po wylosowaniu czerwonej zostają 3 czerwone kulki z 11 wszystkich. P = (4/12) · (3/11) = 12/132 = 1/11. 8. Dane uporządkowane rosnąco: 4, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 13. Suma: 4 + 7 + 7 + 8 + 10 + 10 + 10 + 13 = 69. Średnia arytmetyczna: 69 / 8 = 8,625. Mediana przy 8 liczbach to średnia z 4. i 5. elementu: (8 + 10) / 2 = 9. Porównanie: średnia jest mniejsza od mediany, bo niższe wartości 4, 7, 7 obniżają średnią bardziej niż medianę. 9. W trójkącie prostokątnym: 5^2 + x^2 = 13^2 25 + x^2 = 169 x^2 = 144 x = 12. Dla kąta ostrego naprzeciw boku 5: sin = przeciwległa / przeciwprostokątna = 5/13, cos = przyległa / przeciwprostokątna = 12/13. 10. W trapezie odcinek równoległy do podstaw, leżący w połowie wysokości, ma długość równą średniej arytmetycznej długości podstaw: (6 + 15) / 2 = 21 / 2 = 10,5. Własność ta wynika z proporcji odcinków przy prostych równoległych i z podobieństwa odpowiednich trójkątów w przekroju trapezu.
