O tym materiale
Test diagnostyczny z matematyki, Liceum, klasa 2: Równania i nierówności. 9 zadań z odpowiedziami i wyjaśnieniami. Tematy: Równania i nierówności, Funkcja kwadratowa, Funkcje i ich własności, Trygonometria, Geometria analityczna, Ciągi, Prawdopodobieństwo i kombinatoryka. Czas trwania: 55 min.
Zadania diagnostyki
Poniżej pełna lista zadań z poprawnymi odpowiedziami i wyjaśnieniami. Na lekcji korepetytor może ukryć odpowiedzi i odsłaniać je po próbie ucznia.
1
Rozwiąż równanie: 2x^2 - 2x - 3 = 0.
x = 3 lub x = -1
x = 1 lub x = -3
x = 3 lub x = 1
Brak rozwiązań rzeczywistych
2
Dla funkcji f(x) = -x^2 + 4x - 1 wskaż wierzchołek paraboli.
(2, 3)
(-2, 3)
(2, -3)
(4, -1)
Wyjaśnienie: Współrzędna x wierzchołka to -b/(2a) = -4/(2·(-1)) = 2. Po podstawieniu f(2) = -4 + 8 - 1 = 3, więc wierzchołek ma współrzędne (2, 3).
3
Który zbiór jest dziedziną funkcji g(x) = 1/(x^2 - 9)?
R \ { -3, 3 }
R \ { 0, 9 }
R \ { 3 }
R
Wyjaśnienie: Mianownik nie może być równy 0. Warunek x^2 - 9 ≠ 0 daje x ≠ -3 oraz x ≠ 3, więc dziedzina to R bez tych dwóch liczb.
4
Oblicz sin 30° + cos 60°.
1
1/2
√3/2
2
Wyjaśnienie: sin 30° = 1/2 oraz cos 60° = 1/2, więc suma wynosi 1.
5
Punkt A = (1, -2) i punkt B = (5, 4). Jaka jest długość odcinka AB?
2√13
√13
√52
6
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru na odległość: AB = √((5 - 1)^2 + (4 - (-2))^2) = √(4^2 + 6^2) = √52 = 2√13.
6
Ciąg arytmetyczny ma a1 = 7 oraz różnicę r = -3. Ile wynosi a5?
-5
-8
4
16
Wyjaśnienie: Korzystamy ze wzoru an = a1 + (n - 1)r. Zatem a5 = 7 + 4·(-3) = 7 - 12 = -5.
7
Wybierz wszystkie poprawne stwierdzenia dotyczące trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 6 i 8.
Przeciwprostokątna ma długość 10
Pole trójkąta wynosi 24
Obwód trójkąta wynosi 20
Sinus jednego z kątów ostrych może wynosić 8/10
Wyjaśnienie: Z twierdzenia Pitagorasa c = √(6^2 + 8^2) = 10. Pole wynosi (1/2)·6·8 = 24. Obwód to 6 + 8 + 10 = 24, więc stwierdzenie o obwodzie 20 jest fałszywe. Sinus kąta ostrego może wynosić 8/10 = 4/5, więc to stwierdzenie jest prawdziwe.
8
Rozwiąż nierówność: x^2 - 4x - 5 > 0.
x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, ∞)
x ∈ (-1, 5)
x ∈ (-∞, 5)
x ∈ (-∞, -5) ∪ (1, ∞)
Wyjaśnienie: Rozkładamy na czynniki: x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). Iloczyn jest dodatni poza miejscami zerowymi, więc rozwiązaniem jest x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, ∞).
9
Rzucamy uczciwą kostką do gry. Wskaż wszystkie prawdziwe zdania.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej wynosi 1/2
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od 4 wynosi 1/3
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 7 wynosi 1/6
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby mniejszej od 1 wynosi 0
Wyjaśnienie: Liczby parzyste to 2, 4, 6, więc prawdopodobieństwo wynosi 3/6 = 1/2. Liczby większe od 4 to 5 i 6, więc 2/6 = 1/3. Liczby 7 nie da się wyrzucić na standardowej kostce, więc to zdanie jest fałszywe. Liczb mniejszych od 1 też nie ma, więc prawdopodobieństwo wynosi 0.
