Про цю підготовку
Хочу зробити діагностичний тест з математики для учениці Ульяни, 10 клас, на 55 хвилин, середньої складності. Тест має охопити параграфи «Найпростіші геометричні місця точок у просторі» та «Рівняння площини і сфери».
Тетяна Мадюдя
Автор підготовки
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке з наведених рівнянь є рівнянням площини?
x^2 + y^2 + z^2 = 9
2x - 3y + z - 5 = 0
x + 1/y + z = 4
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16
Пояснення: Рівняння площини має вигляд Ax + By + Cz + D = 0, де хоча б один із коефіцієнтів A, B, C не дорівнює нулю.
2
Для площини 4x + y - 2z + 7 = 0 вектор нормалі має координати:
(4; 1; -2)
(4; -1; 2)
(-4; -1; 2)
(1; 4; -2)
Пояснення: Для площини Ax + By + Cz + D = 0 вектор нормалі має координати (A; B; C).
3
Яке з наведених рівнянь є рівнянням сфери?
x^2 + y^2 + z^2 = 25
x^2 + y^2 = 25
x + y + z = 25
x^2 + y^2 + z = 25
Пояснення: Рівняння сфери має вигляд (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 або після розкриття дужок містить квадрати всіх трьох змінних з однаковими коефіцієнтами.
4
Знайдіть центр і радіус сфери (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 = 36.
Центр (2; -1; 4), радіус 6
Центр (-2; 1; -4), радіус 36
Центр (2; 1; 4), радіус 6
Центр (2; -1; 4), радіус 36
Пояснення: У рівнянні сфери центр має координати, протилежні знакам у дужках, а радіус дорівнює кореню з правої частини: R = √36 = 6.
5
Укажіть усі рівняння, які задають площину.
3x - 2y + z = 0
x^2 + y^2 + z^2 = 1
5z - 10 = 0
x + y^2 - z = 3
-x + 4y + 2z - 1 = 0
Пояснення: Площину задають лінійні рівняння першого степеня відносно x, y, z. Рівняння з квадратами або дробами зі змінними не підходять.
6
Укажіть усі рівняння, які задають сферу.
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 3)^2 = 49
x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z = 0
x^2 + y^2 + z = 9
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 16
x^2 + y^2 + z^2 + 1 = 0
Пояснення: Сфера задається рівнянням, у якому є квадрати x, y, z з однаковими коефіцієнтами, а після зведення до стандартного вигляду можна визначити центр і радіус.
7
Чи належить точка A(1; 2; 3) площині x - y + z - 2 = 0?
Так
Ні
Можливо
Недостатньо даних
Пояснення: Підставляємо координати точки в рівняння площини: 1 - 2 + 3 - 2 = 0, отже точка належить площині.
8
Яка геометрична множина точок у просторі задається рівнянням x = 4?
Площина, паралельна площині Oyz
Сфера з центром у початку координат
Пряма
Промінь
Пояснення: Рівняння x = 4 задає всі точки простору, у яких абсциса стала, тобто це площина, паралельна площині Oyz.
9
Яка з точок належить сфері x^2 + y^2 + z^2 = 14?
(1; 2; 3)
(2; 2; 2)
(0; 0; 4)
(1; 1; 4)
Пояснення: Перевіряємо підстановкою: 2^2 + 2^2 + 2^2 = 12, тому ця точка не підходить; однак у варіантах потрібно знайти точку, для якої сума квадратів дорівнює 14. Тут правильна точка — (1; 2; 3), бо 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14.
10
Знайдіть радіус сфери x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 8z + 4 = 0.
3
4
5
6
Пояснення: Зводимо до стандартного вигляду: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 25, отже радіус дорівнює 5. У наведених варіантах правильний має бути 5.
